Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2=a$.
Ví dụ 1:
a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$.
b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.
c) Căn bậc hai của $0$ là $0$.
Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^2=a$.
Kí hiệu $x=\sqrt a$.
Ví dụ 2:
a) $\sqrt 4=2$.
b) $\sqrt {36}=6$.
Tính chất 1: Với $a\ge 0$ thì:
- $x=\sqrt a$ thì $x\ge 0$ và $x^2=a$. Hay $\sqrt a\ge 0$ và $\left (\sqrt a \right )^2=a$.
- Nếu $x \ge 0$ và $x^2=a$ thì $x= \sqrt a$.
Tính chất 2: Cho $a$, $b$ là các số không âm. Khi đó $a<b \Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$
Ví dụ 3: So sánh các số:
a) $1$ và $\sqrt 2$.
b) $2$ và $\sqrt 5$.
c) $17$ và $\sqrt {290}$.
Giải
a) Ta có: $1<2 \Leftrightarrow 1<\sqrt 2$.
b) Ta có: $4<5 \Leftrightarrow 2<\sqrt 5$.
c) Ta có: $289<290 \Leftrightarrow 17<\sqrt {290}$.
Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:
a) $\sqrt x <2$.
b) $2<\sqrt x <4$.
Giải
a) Ta có: Điều kiện $x \geq 0$, từ giả thiết $\sqrt x <2 \Leftrightarrow x<4$.
Do $x$ là số tự nhiên nên $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.
b) Ta có: $2< \sqrt x \Leftrightarrow 4<x$ và $\sqrt x <4 \Leftrightarrow x<16$
Vậy $4<x<16$ Do $x$ tự nhiên nên $x$ là các số tự nhiên từ 5 đến 15.
Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.
Giải
Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông ($x>0$).
Vậy diện tích hình vuông là $S_v=x^2$.
Diện tích hình chữ nhật là $S_{hcn}=4\cdot 9=36$.
Mà $S_v=S_{hcn}\Leftrightarrow x^2=36\Leftrightarrow x=\sqrt{36}=6$ hoặc $x=-\sqrt{36}=-6$. Do $x>0$ nên $x=6$.
Ta có chu vi hình vuông là $P_v=4\cdot x=4\cdot 6=24$.
Ta có chu vi hình chữ nhật là $P_{hcn}=2\cdot (9+4)=2\cdot 13=26$.
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.
Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của $A$, $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.
Biểu thức $\sqrt A$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.
Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.
a) $\sqrt {2x-1}$.
b) $\sqrt{4-3x}$.
c)$\sqrt {x^2}$.
Giải
a) $2x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$
b) $4-3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac {4}{3}$
c) $x^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi $x$
Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$.
a) $\sqrt {x^2+4}$.
b) $\sqrt {x^2-4x+4}$.
c) $\sqrt {2x^2-4x+3}$.
Giải
a) Ta có: $x^2+4 \ge 0$ với mọi $x$ .
Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.
b) Ta có: $x^2-4x+4=\left ( x-2 \right ) ^2 \ge 0$ với mọi $x$.
Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.
c) Ta có: $2x^2-4x+3=2\left ( x^2-2x+1 \right )+1=2\left (x-1 \right )^2+1 \ge 0$ với mọi $x$.
Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.
Bài tập:
Bài 1: Tính :
a) $\sqrt {81}$.
b) $\sqrt {225}$.
c) $\sqrt {0,49}$.
d) $\sqrt {12^2+5^2}$.
e) $-0,25\sqrt {(-0,4)^2}$.
Bài 2: So sánh các căn sau:
a) $\sqrt {20}$ và $2\sqrt 5$.
b) $2\sqrt 3$ và $3\sqrt 2$.
c) $-7\sqrt 3$ và $-2\sqrt {10}$.
d) $\sqrt 3 -3\sqrt 2$ và $-4\sqrt 3 +5\sqrt 2$.
e) $2+\sqrt 2$ và $5-\sqrt 3$.
Bài 3: Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:
a) $\sqrt {3x-2}$.
b) $\sqrt {4x^2-20x+25}$.
c) $\sqrt {\dfrac {-5}{9-5x}}$.
d) $\sqrt {x^2-4}$.
Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:
a) $\sqrt x=3$.
b) $\sqrt x +2=7$.
c) $\sqrt {x+1} -1=4$.
d) $\sqrt {x-1} =\sqrt {13}$.
