Bài 1.
a) $\sin 3 x-\sqrt{3} \cos 3 x=2\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$
b) $\dfrac{\sin 2 x+2 \sin 2 x \cos 4 x}{\cos 3 x}=1$
Bài 2.
a) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà có đúng 1 chữ số lẻ?
b) Lớp X có 30hs trong đó có 3 bạn Mai, An, Bình. Để tham gia trò chơi kéo có cần 10 học sinh. Tính xác suất để trong 10 học sinh được chọn có ít nhất 2 trong 3 bạn Mai, An và Bình nói trên.
Bài 3. Cho số tự nhiên $n$ thỏa $A_{n}^{2}+3 C_{n+1}^{n}=38 .$ Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left(\sqrt{x}-3 x^{3}\right)^{n}$
Bài 4. Cho cấp số cộng $u_{n}$ với công sai $d$ thỏa điều kiện:
$$
\left\{\begin{array}{l}
S_{20}-S_{15}=500 \\
u_{20}-u_{15}=75
\end{array} \right.$$
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n} $. Tìm $u_{1}, d$.
Bài 5. Trong mặt phẳng $O x y,$ cho các đường thẳng $d_{1}: 3 x-6 y-15=0$ và $d: y=x$. Gọi $d_{2}$ là ảnh của $d_{1}$ qua phép đối xứng trục $d$. Tìm tọa độ giao điểm của $d_{2}$ với trục tung.
Bài 6. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành tâm $O, M, N$ lần lượt là trung điểm $S A, C D$.
a) Tìm giao tuyến của măt phẳng $(S A C)$ và $(S B D) ;(S A D)$ và $(S B N)$.
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A C D, K$ là trọng tâm tam giác $S B D$. Chứng minh: $G K |(S A D) . B K$ cắt $S D$ tại $I$. Chứng minh $I$ thuộc mặt phẳng $(O M N)$
c) Chứng minh: $SB \parallel (O M N)$ và tìm giao điểm của mặt phẳng $(A N K)$ với $S B$.
Lời giải
Bài 1.
a) $\sin 3 x-\sqrt{3} \cos 3 x=2\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \sin 3 x-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 3 x=\cos 2 x$
$\Leftrightarrow \cos \left(3 x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos (2 x+\pi)$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \ x=-\dfrac{7 \pi}{6}+\frac{k 2 \pi}{5}\end{array}(k \in \mathbb{Z}\right.$
b) $\dfrac{\sin 2 x+2 \sin 2 x \cos 4 x}{\cos 3 x}=1$
Điều kiện: $x \neq \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k \pi}{3}$
$\Leftrightarrow \sin 2 x+\sin 6 x-\sin 2 x=\cos 3 x$
$\Leftrightarrow \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-6 x\right)=\cos 3 x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{18}-\frac{k 2 \pi}{9} \ x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{k 2 \pi}{3}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
So sánh với điều kiện, ta được hoăc $\dfrac{5 \pi}{18}+\dfrac{k 2 \pi}{3}$
Bài 2.
$\quad$ a) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà có đúng 1 chữ số lẻ? Gọi số cần tìm: $\overline{a b c d}$ +TH1: a là số lẻ, có 4 cách Ta có: $4 \times A_{5}^{3}$
+TH2: a là số chãn, có 4 cách Ta chọn ra 1 số lẻ rồi xếp vào 3 vị trí còn lại: $4 \times 3$ Nên có: $4 \times 4 \times 3 \times A_{4}^{2}$
Do đó, có tất cả: 816 số.
b) Lớp X có 30hs trong đó có 3 bạn Mai, An, Bình. Để tham gia trò chơi kéo có cần 10 học sinh. Tính xác suất để trong 10 học sinh được chọn có ít nhất 2 trong 3 bạn Mai, An và Bình nói trên. Không gian mẫu: $|\Omega|=C_{30}^{10}$ Xác suất để trong 10 học sinh được chọn có ít nhất 2 trong 3 bạn Mai, An và Bình là: $P=\dfrac{C_{27}^{7}+3 C_{27}^{8}}{C_{30}^{10}}=\dfrac{51}{203}$.
Bài 3.
Cho số tự nhiên $n$ thỏa $A_{n}^{2}+3 C_{n+1}^{n}=38 .$ Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left(\sqrt{x}-3 x^{3}\right)^{n}$
Ta có: $A_{n}^{2}+3 C_{n+1}^{n}=38$
$\Leftrightarrow \dfrac{n !}{(n-2) !}+3 \cdot \dfrac{(n+1) !}{n !}=38$
$\Rightarrow n=5$
Nên $\left(\sqrt{x}-3 x^{3}\right)^{5}$ có $\mathrm{SHTQ}: C_{5}^{k}(-3)^{k} \cdot x^{\frac{5}{2}}(k+1)$
Theo ycbt ta được: $k=1$. Do đó, số hạng chứa $x^{5}$ là $-15 x^{5}$
Bài 4.
$$
\left\{\begin{array}{l}
S_{20}-S_{15}=500 \\
u_{20}-u_{15}=75
\end{array} \right.$$
Từ phương trình ( 2 ) ta được: $d=15$, thế vào ta được $u_{1}=-155$.
Bài 5. Trong mặt phẳng $O x y,$ cho các đường thẳng $d_{1}: 3 x-6 y-15=0$ và $d: y=x$. Gọi $d_{2}$ là ảnh của $d_{1}$ qua phép đối xứng trục $d$. Tìm tọa độ giao điểm của $d_{2}$ với trục tung. Gọi $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của $M(x ; y) \in d_{1}$ qua phép đối xứng trục $d$. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=x\end{array}\right.$
Nên ta có $d_{2}: 3 y^{\prime}-6 x^{\prime}-15=0$ hay $2 x-y+5=0$
Vậy giao điểm của $d_{2}$ và trục tung là $A(0 ; 5)$
Bài 6.
a) $+(S A C) \cap(S B D)=S O$
$+$ Gọi $B N \cap A D=E .(S A D) \cap(S B N)=S E$
b) Ta có: $\dfrac{O G}{O D}=\dfrac{O K}{S}=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow D K | S D$
Nên $G K |(S A D)$
Ta có: $K$ là trọng tâm tam giác $S B D$ nên $I$ là trung điểm $S D \Rightarrow M I | A D$. Ta lại có: $(M N O) \cap(S A D)=M x|A D| O N$.
Do đó: $I \in M x$ nên $I \in(O M N)$.
c) Gọi $F=O N \cap A B,$ ta được $F$ là trung điểm $A B$. $\Rightarrow M F | S B$
$\Rightarrow S B |(O M N)$
$+$ Ta thấy $(A K N) \cap(S B D)=K G$
Gọi $T=K G \cap S B$
Do đó: $T=S B \cap(A K N)$.
Giải nhanh đề học kì 1 gửi đến các em học sinh, cảm ơn thầy Dương Trọng Đức đã đóng góp cho geosiro.com