Bài 1. (Toán chung) Tam giác $ABC$ có $\angle BAC = 75^\circ, \angle BCA = 45^\circ, AC = a\sqrt{2}$, $AK$
vuông góc với $BC$ ($K$ thuộc $BC$).
a. Tính độ dài các đoạn $KC$ và $AB$ theo $a$.
b. Gọi $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $\angle OHC$.
c. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $HIO$ theo $a$.
a.
- Tam giác $ACK$ vuông cân tại $C$, suy ra $AK = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a$
- $\sin ABK = \frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$
b.
- Ta có $\angle AOC = 2\angle ABC = 120^\circ$, và $\angle AHC = \angle EHF = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.
- Suy ra $\angle AHC = \angle AOC$, suy ra $AHOC$ nội tiếp. Do đó $\angle OHC = \angle OAC = 30^\circ$.
c.
- Ta có $\angle AIC = 180^\circ- \angle IAC – \angle ICA = 180^\circ– \dfrac{1}{2} (\angle BAC + \angle ACB) = 120^\circ = \angle AOC$.
- Do đó tứ giác $AIOC$ nội tiếp.Vậy 5 điểm $A, H, I, O, C$ cùng thuộc đường tròn.
- Gọi $D$ là điểm chính giữa cung $AC$. Ta có $OAD$ và $OCD$ đều, suy ra $DA = DC = DO$, hay $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, và bán kính $DO = OA = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$
Bài 2. (Toán chuyên) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB = b, AC = c$. $M$ là một điểm thay đổi trên cạnh $AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$
cắt cạnh $AC$ tại $N$.
a. Chứng minh tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $ACB$. Tính tỷ số $\dfrac{MA}{MB}$ để diện tích tam giác $AMN$
bằng một nửa diện tích tam giác $ACB$.
b. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh $I$ Thuộc một đường thẳng cố định.
c. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$. Chứng minh rằng độ dài $IJ$ không đổi.
a.
- Ta có $BMN$ nội tiếp, suy ra $\angle ANM = \angle MBC = \angle ABC$. Mặt khác $\angle NAM = \angle BAC$. Suy ra hai tam giác $AMN$ và $ACB$ đồng dạng. Suy ra $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB} \Leftrightarrow AM.AB = AN.AC$.
- Để diện tích $AMN$ bằng một nửa diện tích tam giác $ACB$ thì tỷ số đồng dạng phải bằng $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, tứ là $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $AM = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$.
- Từ đây tính được $BM = b – \dfrac{c}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{c}{b\sqrt{2}-c}$.
b.
- Vẽ tia tiếp tuyến $Ay$ của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $AMN$.
- Ta có $\angle yAM = \angle ANM$, mà $\angle ANM = \angle ABC$. Suy ra $\angle yAM = \angle ABC$. Suy ra $Ay||BC$.
- Mà $IA \bot Ay$, suy ra $AI \bot BC$. Do đó $I$ thuộc đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$ cố định.
c.
- Hai đường tròn $(O)$ và $(J)$ cắt nhau tại $B, C$ nên $OJ \bot BC$, $AI \bot BC$. Suy ra $AI ||BC$.
- Mặt khác $OA \bot MN$ và $OI \bot MN$ (MN là giao của $(I), (O)$, suy ra $OA||IJ$.
- Vậy tứ giác $AIJO$ là hình bình hành, vậy $IJ = OA$ không đổi.