A. PHẦN CHUNG (8 điểm)

Bài 1 (1 điểm).

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x =0$

$\Leftrightarrow \sin x + \sin 3x + \sin 2x =0$

$\Leftrightarrow 2\sin 2x \cos x + \sin 2x =0$

$\Leftrightarrow \sin 2x \left( 2\cos x +1\right) =0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x =0\\ \cos x = -\dfrac{1}{2} \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{k\pi }{2}\\ x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \end{array}\right. $ $(k\in \mathbb{Z})$

Vậy $S=\left\{ \dfrac{k\pi }{2}; \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \ |\ k\in \mathbb{Z}\right\} $

Bài 2 (1 điểm).

Gọi $T_{k+1}$ là số hạng thứ $k+1$ không chứa $x$.

Ta có: $T_{k+1} = C_{15}^k \cdot \left( 2x^2\right) ^{15-k} \cdot \left( -\dfrac{1}{x}\right) ^k = C_{15}^k \cdot (-1)^k \cdot 2^{15-k} \cdot x^{30 – 3k}$

$T_{k+1}$ không chứa $x$ $\Leftrightarrow 30 -3k =0 \Leftrightarrow k = 10$

Vậy số hạng không chứa $x$ là: $T_{11} =C_{15}^{10}\cdot (-1)^{10} \cdot 2^5$

Bài 3 (1,5 điểm).

Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $d$ là công sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} u_2 + u_5 =11\\ u_6 + 2u_4 =27 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1 + d + u_1 + 4d =11\\ u_1 + 5d + 2(u_1 + 3d) =27 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u_1 + 5d =11\\ 3u_1 + 11d =27 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d=3\\ u_1 =-2 \end{array}\right. $

Vậy $u_1 = -2$ và $d=3$.

Bài 4 (1 điểm).

Xác suất để quay vào ô trúng quà: $\dfrac{10}{16}$.

Xác suất để quay vào ô may mắn: $\dfrac{6}{16}$.

Biến cố “trúng quà” và “may mắn” là độc lập.

$\Rightarrow $ Xác suất để 2 lần quay vào ô trúng quà là: $C_3^2 \cdot \dfrac{10}{16} \cdot \dfrac{10}{16} \cdot \dfrac{6}{16} = \dfrac{225}{512}$.

Bài 5 (3,5 điểm).

a) Gọi $O$ là trung điểm của $AC$.

Ta có: $BM//CN$ và $BM = CN\Rightarrow BMNC$ là hình bình hành.

$\Rightarrow MN//BC$ $\Rightarrow NM$ đi qua trung điểm $O$ của $AC$.

$\triangle SAC$ có $OI$ là đường trung bình $\Rightarrow OI // SC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} SC // OI\\ OI \subset (IMN) \end{array}\right. $ $\Rightarrow SC//(IMN)$

b) Ta có: $AN//CM$

Trong mặt phẳng $(SAB)$, gọi $L=AP \cap IM$ $\Rightarrow L \in (APN) \cap (CMI)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} AN \subset (APN)\\ CM \subset (CMI)\\ AN//CM\\ L\in (APN) \cap (CMI) \end{array}\right. $

$\Rightarrow Lx = (APN) \cap (CMI)$ sao cho $Lx // AN//CM$.

c) Gọi $T$ là trung điểm của $BC$.

Trong mặt phẳng $(SAT)$, gọi $X = IK \cap AT$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $Q = XG \cap BC$, $R= XG \cap AD$

Trong mặt phẳng $(SBC)$, gọi $U = QK \cap SB$

Từ đó suy ra thiết diện của mặt phẳng $(IGK)$ và hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $IUQR$.

B. PHẦN RIÊNG (2 điểm)

I. Dành cho các lớp 11CL, 11CH, 11CS, 11A1, 11A2

Bài 6a (1 điểm).

Ta có: $u_{n+1} – u_n = \dfrac{n+2}{2(n+1)^2+1} – \dfrac{n+1}{2n^2 +1}$

$= \dfrac{(n+2)(2n^2+1) – (n+1)(2n^2 +4n + 3)}{(2n^2 +1) (2n^2 + 4n +3)}$

$=\dfrac{2n^3 + 4n^2 +n +2 – (2n^3 + 6n^2 +7n + 3)}{(2n^2 +1) (2n^2 + 4n +3)}$

$= \dfrac{-2n^2 -6n -1}{(2n^2 +1) (2n^2 + 4n +3)}<0$, $\forall n \in \mathbb{N^*}$

Vậy $(u_n)$ là dãy giảm.

Bài 7a (1 điểm).

Số cách chọn 9 học sinh từ 31 học sinh: $C_{31}^9$.

Số cách chọn 9 học sinh chỉ có 1 khối: $C_{17}^9$.

Số cách chọn 9 học sinh có đúng 2 khối: $\left\{ \begin{array}{l} \text{ Khối 10, 11 }: C_{25}^9 – C_{17}^9 \\ \\ \text{ Khối 10, 12 }: C_{23}^9 – C_{17}^9\\ \\ \text{ Khối 11, 12 }: C_{14}^9 \end{array}\right. $

Xác suất để chọn có đủ cả ba khối lớp:

$$1-\dfrac{C_{17}^9 + \left( C_{25}^9 – C_{17}^9 + C_{23}^9 – C_{17}^9 + C_{14}^9\right ) }{C_{31}^9} \approx 0,859$$

II. Dành cho các lớp 11CV, 11CA1, 11CA2, 11CA3

Bài 6b (1 điểm).

Ta có: $u_{n+1} – u_n = \dfrac{2(n+1) -5}{n+5} – \dfrac{2n -5}{n+4}$

$= \dfrac{(n+4)(2n-3) – (n+5)(2n-5)}{(n+5)(n+4)}$

$= \dfrac{2n^2 + 5n -12 – (2n^2 +5n -25)}{(n+5)(n+4)}$

$=\dfrac{13}{(n+5)(n+4)} >0$, $\forall n\in \mathbb{N^*}$

Vậy $(u_n)$ là dãy tăng.

Bài 7b (1 điểm).

Số cách chọn 3 bạn trong 31 bạn: $C_{31}^3 = 4495$.

Số cách chọn 1 nữ lớp 10, 1 nữ lớp 11, 1 nam lớp 11: $C_9^1 \cdot C_{12}^1 \cdot C_{10}^1 = 1080$

Số cách chọn 1 nữ lớp 10, 2 nam lớp 11: $C_9^1 \cdot C_{10}^2 = 405$

Số cách chọn 2 nữ lớp 10, 1 nam lớp 11: $C_9^2\cdot C_{10}^1 = 360$

Vậy xác suất để chọn 3 bạn có cả nam lẫn nữ và có cả lớp 10 và 11: $\dfrac{1080 + 405 + 360}{4495} = \dfrac{369}{899}$

III. Dành cho các lớp 11TH1, 11TH2, 11TĐ

Bài 6c (1 điểm).

Ta có: $u_{n+1} – u_n = 2(n+1)^2 + n – (2n^2 +n -1)$

$= 2n^2 + 4n + 2 +n – 2n^2 -n +1$

$=4n +3>0$, $\forall n \in \mathbb{N^*}$

Vậy $(u_n)$ là dãy tăng.

Bài 7c (1 điểm).

Số cách chọn 4 bạn trong 33 bạn: $C_{33}^4$

Số cách chọn 1 bạn lớp 10, 1 bạn lớp 11, 2 bạn lớp 12: $C_{10}^1 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^2$

Số cách chọn 1 bạn lớp 10, 2 bạn lớp 11, 1 bạn lớp 12: $C_{10}^1 \cdot C_{11}^2 \cdot C_{12}^1$

Số cách chọn 2 bạn lớp 10, 1 bạn lớp 11, 1 bạn lớp 12: $C_{10}^2 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^1$

Vậy xác suất để chọn 4 bạn có đủ cả ba khối là: $$\dfrac{C_{10}^1 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^2 + C_{10}^1 \cdot C_{11}^2 \cdot C_{12}^1 +C_{10}^2 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^1 }{C_{33}^4}=\dfrac{15}{31}$$