a) Có bao nhiêu cách sắp xếp một đội kéo co có $10$ học sinh gồm $5$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ trong đó có $3$ bạn nữ Lan, Mai, Hồng sao cho bạn Mai luôn đứng giữa hai bạn Lan và Hồng?
b) Gọi $X$ là tập hợp các số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau được lập từ các chữ số $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$. Lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tập $X$. Tính xác suất chọn được số chẵn?
Bài 3 (1 điểm).
a) Biết tập $A$ có đúng $128$ tập con. Hỏi $A$ có bao nhiêu tập con có $3$ phần tử?
b) Tìm số hạng chứa $x^8$ trong khai triển của $\left( x+ \dfrac{1}{x^3}\right) ^{24}$
Bài 4 (1 điểm). Tam giác $ABC$ có số đo các góc $\angle BAC$, $\angle CBA$, $\angle ACB$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và $\cos \left( \angle CBA + \angle ACB\right) =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo góc $\angle CBA$ và $\sin \angle BAC$.
Bài 5 (1 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;3)$, bán kính $R=1$ và các điểm $K(-1;2)$, $H(-3;1)$. Gọi $(C’)$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép đối xứng tâm $K$. Điểm $H$ thuộc đường tròn $(C’)$ không? Vì sao?
Bài 6 (3 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Gọi $G$, $I$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SCD$, tam giác $ACD$ và $H$ là trung điểm $CD$.
a) Tìm giao tuyến của $(SAH)$ và $(SBD)$. Tìm giao điểm $K$ của $AG$ và $(SBD)$.
b) Chứng minh $GI//(SAB)$ và $OH//d$ với $d$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$.
c) Mặt phẳng $(P)$ chứa $SB$ và song song với $DG$, $(P)$ cắt $CD$ tại $E$. Tính $\dfrac{DE}{CE}$.
Giải
Bài 1 (2 điểm).
a) $\cos 2x – 6\sin x +7 =0$
$\Leftrightarrow 1-2\sin^2 x -6\sin x +7=0$
$\Leftrightarrow \sin^2 x + 3\sin x -4 =0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \sin x =-4 \text{ (loại) } \end{array} \right. $