Bài 1. (1 điểm)
a) Điều kiện: $x\ne 1$

Phương trình $(1) \Rightarrow \left( m^2-1 \right) x=-m-1 \quad (2)$

Phương trình $(1)$ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(2)$ có đúng một nghiệm khác 1

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m^2-1 \ne 0 \\
x= \dfrac{-m-1}{m^2-1} \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\ne 1 \\
m\ne -1 \\
m \ne 0
\end{array} \right. $

Bài 2. (2 điểm)
a)

• Nếu $x\ge \dfrac{2}{3}$ ta có phương trình:
  $$4x-3x+2=x^2 \Leftrightarrow x^2-x-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  x=-1 \quad \text{(loại)} \\
  x=2 \quad \text{(nhận)}
  \end{array} \right. $$
• Nếu $x < \dfrac{2}{3}$ ta có phương trình:
  $$4x+3x-2=x^2 \Leftrightarrow x^2-7x+2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  x=\dfrac{7+\sqrt{41}}{2} \quad \text{(loại)} \\
  x=\dfrac{7-\sqrt{41}}{2} \quad \text{(nhận)}
  \end{array} \right. $$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2$, $x=\dfrac{7-\sqrt{41}}{2}$
b) Điều kiện: $x\ge \dfrac{1}{5}$

$\left( x^2 +x-2 \right) \left( \sqrt{5x-1}-7+2x \right) =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x^2+x-2=0 \quad (2) \\
\sqrt{5x-1}=7-2x \quad (3)
\end{array} \right. $

$(1)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=1 \quad \text{(nhận)} \\
x=-2 \quad \text{(loại)}
\end{array} \right. $

$(2)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7-2x \ge 0 \\
5x-1 = 49 -28x+4x^2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \dfrac{7}{2} \\
4x^2 – 33x + 50=0
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\le \dfrac{7}{2} \\
\left[ \begin{array}{l}
x=2 \\
x=\dfrac{25}{4}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x=2 \quad \text{(nhận)}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=1$, $x=2$.

Bài 3. (1 điểm) $B(-1;4) \in (P) \Rightarrow 4=a-b+c$

$S(0;3)$ là đỉnh nên $3=c$ và $-\dfrac{b}{2a}=0 \Rightarrow b=0 \Rightarrow a=1$

Vậy $a=1$, $b=0$, $c=3$.

Bài 4. (1,5 điểm)
a) $D=\left| \begin{array}{*{20}{c}}
{2m}&{-(m+1)}\\
{m-2}&{-\dfrac{m}{2}}
\end{array} \right| = -m-2$

$D_x=\left| \begin{array}{*{20}{c}}
{m+1}&{-(m+1)}\\
{-\dfrac{m}{2}-2}&{-\dfrac{m}{2}}
\end{array} \right| = (m+1)(-m-2)$

$D_y=\left| \begin{array}{*{20}{c}}
{2m}&{m+1}\\
{m-2}&{-\dfrac{m}{2}-2}
\end{array} \right| = (-m-2)(2m-1)$
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $D \ne 0 \Leftrightarrow -m-2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne -2$

Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi $D=D_x=D_y=0\Leftrightarrow m=-2$

Khi đó hệ có vô số nghiệm là $(x,y)$ thỏa $-4x+y=-1$

Vậy hệ có nghiệm với mọi giá trị của $m$.
b)

• TH1. Hệ có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $D \ne 0\ne m \ne -2$Khi đó $x_0=m+1$, $y_0=2m-1$

  $x_0-y_0=-2 \Leftrightarrow m+1-2m+1=-2 \Leftrightarrow m=4$ (nhận)

  Khi đó nghiệm của hệ là $(5;7)$.

• TH2. Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi $D=D_x=D_y=0 \Leftrightarrow m=-2$Khi đó hệ có vô số nghiệm $\left( x_0;y_0 \right) $ thỏa $-4x_0+y_0=-1$

  Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
  x_0-y_0=-2 \\
  -4x_0+y_0=-1
  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
  x_0=1 \\
  y_0=3
  \end{array} \right. $

  Hệ có nghiệm là $(1;3)$.

Bài 5. (0,5 điểm) $\sin \left( x+ \dfrac{\pi}{2} \right) =\cos x$, $\cos (x+ \pi) = -\cos x$, $\cos (\pi -x) = – \cos x$

$P=\dfrac{\cos x – 2\cos x}{-\cos x} = 1$
Bài 6. (2 điểm)
a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AB\cdot AD \cdot \cos BAD = \dfrac{3}{2} a^2$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

$AC^2 = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) ^2 = AB^2 + AD^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = a^2 + 3a^2 + 3a^2 = 7a^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{7}a$
b) Đặt $\overrightarrow{AE} = x\cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} – \overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}$

$DE \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow{DE} \bot \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AB} =0 \\
\Leftrightarrow \left( x\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \\
\Leftrightarrow xAB^2 – \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} =0 \Leftrightarrow xa^2 – \dfrac{3}{2}a^2 =0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$

Vậy $\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \cdot \left( \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB} \right) = \dfrac{3}{2} AB^2 = \dfrac{3}{2} a^2$

$DE^2 = \left( \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} \right) ^2 = \dfrac{9}{4}AB^2 + AD^2 – 3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \dfrac{9}{4}a^2 + 3a^2 – \dfrac{9}{2}a^2 = \dfrac{3}{4}a^2 \\
\Rightarrow DE = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$

Hoặc cách khác.

Tam giác $ABE$ vuông tại $E$ có $\angle DAE = 30^\circ $ nên $\sin 30^\circ = \dfrac{DE}{AD} \Rightarrow DE=AD \cdot \sin 30^\circ = a\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Bài 7. (2 điểm)
a) $\overrightarrow{AB}(-3;1)$, $\overrightarrow{AC}(3;9)$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -3\cdot 3 + 1\cdot 9 =0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \bot \overrightarrow{AC} \Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$.

Đặt $I(0;i)$

$\overrightarrow{IB}(3;-1-i)$, $\overrightarrow{AB}(-3;1)$

$\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{AB} =10 \Leftrightarrow 3\cdot (-3) + (-1-i)\cdot 1= 10 \Leftrightarrow i=-20$

Vậy $I(0;-20)$.
b) $G\left( 6; \dfrac{4}{3} \right) $

$\overrightarrow{AG}\left( 0; \dfrac{10}{3} \right) \Rightarrow AG= \dfrac{10}{3}$

Đặt $K(k;k)$

$\overrightarrow{KB}(3-k;-1-k)$, $\overrightarrow{KC}(9-k;7-k)$

$\overrightarrow{KB}+ \overrightarrow{KC} = (12-2k;6-2k)$

$\left| \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} \right| = 2\sqrt{5} \Leftrightarrow (12-2k)^2 + (6-2k)^2 =20 \\
\Leftrightarrow k^2-9k+20=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k=4 \\
k=5
\end{array} \right. $

Vậy $K(4;4)$ hoặc $K(5;5)$.