Ngày thi thứ nhất. 

Bài 1. Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x f(y)+f(x))=f(x)+x y+x+1, \forall x, y \in \mathbb{R} .$

Bài 2. Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ thỏa $u_{1}=2, u_{2}=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_{n} u_{n-1}}{n}}$ với mọi $n \geq 2$.
Xét dãy số $\left(v_{n}\right)$ xác định bởi $v_{n}:=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}, \forall n \geq 1$. Chứng minh dãy $\left(v_{n}\right)$ hội tụ.

Bài 3. Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số nguyên dương thỏa $2<p<n$. Gọi $\mathrm{A}$ là tập hợp các đa thức $P(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$ có tất cả các hệ số thuộc tập ${1 ; 2 ; \ldots ; n !}$ và $P(m)$ chia hết cho $p$ với mọi số nguyên dương $m$.

a) Chứng minh tổng $a_{1}+a_{p}+a_{2 p-1}+\ldots+a_{1+k(p-1)}$ chia hết cho $p$ với mọi $k=\left[\dfrac{n-1}{p-1}\right]$ (xem $a_{n}=1$ ), kí hiệu $[x]$ là phần nguyên của $x$.
b) Tính số phần tử của $\mathrm{A}$ theo $\mathrm{n}$ và $\mathrm{p}$.

Bài 4. Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có (I) là đường tròn nội tiếp. Một đường thẳng qua $\mathrm{A}$ cắt $(\mathrm{I})$ tại $\mathrm{M}, \mathrm{N}$. Gọi $\mathrm{T}$ là giao điểm của các tiếp tuyến với (I) tại $\mathrm{M}, \mathrm{N}$.

b) Chứng minh rằng nếu $\mathrm{AT} \parallel \mathrm{BC}$ thì $\mathrm{MN}$ đi qua trung điểm $\mathrm{K}$ của $\mathrm{BC}$.
c) Gọi $\mathrm{D}$ là tiếp điểm của (I) với $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{E}$ là giao điểm của $\mathrm{DM}$ với $\mathrm{AC}$. Trên $\mathrm{EN}$ lấy điểm $\mathrm{F}$ thoả $\mathrm{TF}$ vuông góc $\mathrm{AI}$. Chứng minh rằng khi đường thẳng $\mathrm{AMN}$ thay đổi, giao điểm $\mathrm{P}$ của $\mathrm{MF}$ và $\mathrm{DN}$ thuộc một đường thẳng cố định.

Ngày thi thứ hai

Bài 5. Cho $n$ số thực $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ thỏa hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất của chúng là 1 . Ta xây dựng
$$
y_{1}=x_{1}, y_{2}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \ldots, y_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}
$$
Gọi $M, m$ lần lượt là số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số $y_1, y_2,\cdots,y_n$. \
Tìm giá trị lớn nhất của $M-n$.

Bài 6.  Cho tập $\mathrm{X}={1 ; 2 ; \ldots ; 20}$. Tập con $\mathrm{A}$ của $\mathrm{X}$ được gọi là tập “tránh 2 ” nếu với mọi $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ thuộc $\mathrm{A}$ thì $|x-y|$ khác 2 . Tìm số các tập con “tránh 2 ” của $\mathrm{X}$ có 5 phần tử.

Bài 7. Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ và điểm $\mathrm{D}$ trên cạnh $\mathrm{BC}$. Các đường tròn ( $\mathrm{ABD}$ ), ( $\mathrm{ACD}$ ) lần lượt cắt $\mathrm{AC}, \mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}, \mathrm{F}$. Gọi $\mathrm{I}$ là tâm đường tròn $(\mathrm{AEF})$.
a) Chứng minh ID vuông góc BC.
b) Gọi $\mathrm{H}$ là giao điểm của $\mathrm{ID}$ với $\mathrm{EF}$ và $\mathrm{K}$ là điểm thoả mãn $H B K=H C K=90^{\circ}$. Các đường tròn (IBK), (ICK) lần lượt cắt IC, IB tại M, N. Chứng minh tâm J của đường tròn (IMN) thuộc trung trực BC.

Bài 8.  Cho $p$ là số nguyên tố. Với mọi số nguyên a, đặt
$$
q:=1+a+a^{2}+\ldots+a^{p-1} .
$$
Chứng minh $(1-a)\left(1-a^{2}\right) \ldots\left(1-a^{p-1}\right)-p$ chia hết cho $q$.

Đáp án sẽ được đăng trong Tập san Star education số 7/2022