a) Điều kiện $2-x>0 \Leftrightarrow x \le 2$

$\left( x^2 -9\right) \sqrt{2-x}=x\left( x^2-9 \right)$

$\Leftrightarrow \left( x^2 -9 \right) \left( \sqrt{2-x}-x \right) =0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=3 \ (l) \\ x=-3 \ (n) \\ \sqrt{2-x}=x \ (2)  \end{array}\right. $

Ta có $\sqrt{2-x}=x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ 2-x=x^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow x=1$

vậy $S=\left\{ -3;1 \right\} $

b) $\left\{ \begin{array}{l} \left( x^2 + 4y^2 \right) ^2 – 4\left( x^2 + 4y^2 \right) =5 \ (1)\\ 3x^2 + 2y^2 =5 \ (2) \end{array}\right. $

Đặt $t=x^2+4y^2$, $t\ge 0$ từ (1) ta có $t^2-4t-5=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=5 \ (n) \\ t=-1 \ (l) \end{array}\right. $

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} x^2+4y^2=5 \\ 3x^2+2y^2=5 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2=1 \\ y^2 =1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm 1 \\ y= \pm 1 \end{array}\right. $

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm $(x;y)$ là $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)$

a) $\dfrac{(x-2m)(x+m-3)}{x-1}=0$ $(1)$, điều kiện $x\ne 1$.

$(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2m \\ x=3-m \end{array}\right. $

Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l} 2m \ne 3-m \\ 2m \ne 1 \\ 3-m \ne 1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1 \\ m \ne \dfrac{1}{2} \\ m \ne 2 \end{array}\right. $

b) Theo câu a) thì điều kiện là $\left\{ \begin{array}{l} m \ne 1 \\ m \ne \dfrac{1}{2} \\ m \ne 2 \end{array}\right. $.

Giả sử $x_1 =2m, x_2=3-m$ ta có:

$x_1^2 + x_2^2 -5x_1x_2 = 14m^2 -30m +4 $

$\Leftrightarrow (2m)^2 + (3-m)^2 -5(2m)(3-m) = 14m^2 -30m +4 $

$\Leftrightarrow m^2 -6m +5 =0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=1 \ (l) \\ m=5 \ (n) \end{array}\right. $

a) $Q= \left( \dfrac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{3-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}-\dfrac{36}{x-9} \right) : \dfrac{\sqrt{x}-5}{3\sqrt{x}-x} $

$= \left( \dfrac{\left( 3+\sqrt{x} \right) ^2-\left( 3-\sqrt{x} \right) ^2 +36}{\left( 3-\sqrt{x} \right) \left( 3+\sqrt{x} \right)} \right) \cdot \dfrac{\sqrt{x}\left( 3- \sqrt{x} \right) }{\sqrt{x}-5} $

$=\dfrac{12\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}$

b) Ta có $Q<0 \Leftrightarrow \dfrac{12\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}<0 \Leftrightarrow 0 < \sqrt{x} <5 \Leftrightarrow 0<x < 25 $.

So với điều kiện ta có: $\left\{ \begin{array}{l} 0<x<25 \\ x \ne 9 \end{array}\right. $

a) Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là $x$, $y$ $(m)$. Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}(x+3(y+3) =\dfrac{1}{2}xy+33 \\ \dfrac{1}{2}(x-2)(y+1) =\dfrac{1}{2} xy-2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=19 \\ x-2y=-2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=7 \\ x=12 \end{array}\right. $

Độ dài cạnh huyền $z=\sqrt{7^2+12^2} =\sqrt{193}$

b) Số ngày dự định làm là $61$ ngày, số bài toán dự định làm là $3.61=183$

Gọi $x$ là số ngày làm theo dự định, y là số ngày nghỉ ta có $x \le 31 $.

Số ngày làm $4$ bài/ngày là $61 – x – y – 7 = 54 – x – y$ (ngày)

Theo đề bài ta có:

$$3.x+0.y+16+ 4(54-x-y) =183 \Leftrightarrow 4y+x=49$$

Mà $x \le 31 \Rightarrow 4y \ge 18 \Rightarrow y \ge \dfrac{18}{4}$, mà $y \in \mathbb{N}$ nên giá trị nhỏ nhất của $y$ là $5$.

a) Ta có $\angle BEC = \angle ADC =60^\circ $ ($ADCE$ nội tiếp) và $\angle ABC = \angle ADC = 60^\circ  $ ($ABCD$ là hình bình hành)

Tam giác $BCE$ có $\angle EBC =\angle BEC = 60^\circ  $ nên là tam giác đều.

Ta có $\angle DCE = 180^\circ  – \angle DAE =60^\circ $, suy ra $\angle DCE = \angle ADC$ nên hình thang $AECD$ là hình thang cân

Khi đó $\angle ACD = \angle EDC$, tam giác $ICD$ cân tại $I$.

Ta có $IC = ID$, $OC = OD$ nên OI là trung trực của $CD$. Do đó $OI \bot CD$

b) Ta có $K$ là trung điểm $BD$ nên $K$ cũng là trung điểm $AC$ do $ABCD$ là hình bình hành

Khi đó $OK \bot AC$ và OK là trung trực của AC. Suy ra$MA=MC$. Suy ra $\angle MAC = \angle ACM$.

Mà $\angle ACM = \angle IDM $

Từ đó $\angle IDM = \angle MAC$. Suy ra tứ giác $AIMD$ nội tiếp.

c) Ta có $JK \bot AC$. Suy ra $I$, $K$, $O$ thẳng hàng. Do tam giác $ABC$ và tam giác $ACD$ bằng nhau nên $JK = OK$.

Mặt khác $\angle KJC = \dfrac{1}{2} \angle AJC = \angle ABC =60^\circ  $

Khi đó $\dfrac{KJ}{CK}=\cot \angle KJC = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Mà $OJ=2JK$, $DE=AC$ ($AECD$ là hình thang cân), $OK=\dfrac{1}{2}AC$.

Khi đó $\dfrac{OJ}{DE} = \dfrac{2JK}{AC}=\dfrac{2JK}{2CK}=\dfrac{KJ}{CK}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $\dfrac{OJ}{DE}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$