Đề thi vào lớp 10 trường Phổ thông Năng khiếu năm 2015
Bài 1.
a) Giải phương trình $ \left( x^2 -9 \right) \sqrt{2-x}= x\left( x^2-9 \right) $
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \left( x^2 + 4y^2 \right) ^2 – 4\left( x^2 + 4y^2 \right) =5 \\ 3x^2 + 2y^2 =5 \end{array}\right. $
Giải
a) Điều kiện $2-x>0 \Leftrightarrow x \le 2$
$\left( x^2 -9\right) \sqrt{2-x}=x\left( x^2-9 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x^2 -9 \right) \left( \sqrt{2-x}-x \right) =0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=3 \ (l) \\ x=-3 \ (n) \\ \sqrt{2-x}=x \ (2) \end{array}\right. $
Ta có $\sqrt{2-x}=x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ 2-x=x^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow x=1$
vậy $S=\left\{ -3;1 \right\} $
b) $\left\{ \begin{array}{l} \left( x^2 + 4y^2 \right) ^2 – 4\left( x^2 + 4y^2 \right) =5 \ (1)\\ 3x^2 + 2y^2 =5 \ (2) \end{array}\right. $
Đặt $t=x^2+4y^2$, $t\ge 0$ từ (1) ta có $t^2-4t-5=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=5 \ (n) \\ t=-1 \ (l) \end{array}\right. $
Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} x^2+4y^2=5 \\ 3x^2+2y^2=5 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2=1 \\ y^2 =1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm 1 \\ y= \pm 1 \end{array}\right. $
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm $(x;y)$ là $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)$
Bài 2. Cho phương trình $\dfrac{\left( x-2m \right) \left( x+m-3 \right) }{x-1}=0$ $(1)$
a) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$,$x_2$.
b) Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2 -5x_1x_2= 14m^2 -30m +4$
Giải
a) $\dfrac{(x-2m)(x+m-3)}{x-1}=0$ $(1)$, điều kiện $x\ne 1$.
$(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2m \\ x=3-m \end{array}\right. $
Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l} 2m \ne 3-m \\ 2m \ne 1 \\ 3-m \ne 1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1 \\ m \ne \dfrac{1}{2} \\ m \ne 2 \end{array}\right. $
b) Theo câu a) thì điều kiện là $\left\{ \begin{array}{l} m \ne 1 \\ m \ne \dfrac{1}{2} \\ m \ne 2 \end{array}\right. $.
Giả sử $x_1 =2m, x_2=3-m$ ta có:
$x_1^2 + x_2^2 -5x_1x_2 = 14m^2 -30m +4 $
$\Leftrightarrow (2m)^2 + (3-m)^2 -5(2m)(3-m) = 14m^2 -30m +4 $
$\Leftrightarrow m^2 -6m +5 =0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=1 \ (l) \\ m=5 \ (n) \end{array}\right. $
Bài 3.
a) Rút gọn biểu thức $Q= \left( \dfrac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{3-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}-\dfrac{36}{x-9} \right) : \dfrac{\sqrt{x}-5}{3\sqrt{x}-x}$ ($x>0, x\ne 9, x\neq 25$)
b) Tìm x để $Q<0$.
Giải
a) $Q= \left( \dfrac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{3-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}-\dfrac{36}{x-9} \right) : \dfrac{\sqrt{x}-5}{3\sqrt{x}-x} $
$= \left( \dfrac{\left( 3+\sqrt{x} \right) ^2-\left( 3-\sqrt{x} \right) ^2 +36}{\left( 3-\sqrt{x} \right) \left( 3+\sqrt{x} \right)} \right) \cdot \dfrac{\sqrt{x}\left( 3- \sqrt{x} \right) }{\sqrt{x}-5} $
$=\dfrac{12\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}$
b) Ta có $Q<0 \Leftrightarrow \dfrac{12\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}<0 \Leftrightarrow 0 < \sqrt{x} <5 \Leftrightarrow 0<x < 25 $.
So với điều kiện ta có: $\left\{ \begin{array}{l} 0<x<25 \\ x \ne 9 \end{array}\right. $
Bài 4.
a) Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài các cạnh góc vuông thêm $3$ cm thì diện tích tăng $33$ $cm^2$, nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông $2$ cm và tăng độ dài cạnh góc vuông kia $1$ cm thì diện tích giảm $2$ $cm^2$. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.
b) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày $1/3$ đến ngày $30/4$ mỗi ngày sẽ giải $3$ bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch một thời gian, vào khoảng cuối tháng $3$ (tháng $3$ có $31$ ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An giải $16$ bài toán; sau đó, An cố gắng giải $4$ bài một ngày và đến $30/4$ thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày?
Giải
a) Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là $x$, $y$ $(m)$. Theo đề bài ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}(x+3(y+3) =\dfrac{1}{2}xy+33 \\ \dfrac{1}{2}(x-2)(y+1) =\dfrac{1}{2} xy-2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=19 \\ x-2y=-2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=7 \\ x=12 \end{array}\right. $
Độ dài cạnh huyền $z=\sqrt{7^2+12^2} =\sqrt{193}$
b) Số ngày dự định làm là $61$ ngày, số bài toán dự định làm là $3.61=183$
Gọi $x$ là số ngày làm theo dự định, y là số ngày nghỉ ta có $x \le 31 $.
Số ngày làm $4$ bài/ngày là $61 – x – y – 7 = 54 – x – y$ (ngày)
Theo đề bài ta có:
$$3.x+0.y+16+ 4(54-x-y) =183 \Leftrightarrow 4y+x=49$$
Mà $x \le 31 \Rightarrow 4y \ge 18 \Rightarrow y \ge \dfrac{18}{4}$, mà $y \in \mathbb{N}$ nên giá trị nhỏ nhất của $y$ là $5$.
Bài 5. Hình bình hành $ABCD$ có $ \angle ADC =60^\circ $ và tam giác $ACD$ nhọn. Đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt cạnh $AB$ tại $E$ ($E \ne A$), $AC$ cắt $DE$ tại $I$.
a) Chứng minh tam giác $BCE$ đều và $OI \bot CD$.
b) Gọi $K$ là trung điểm $BD$, $KO$ cắt $DC$ tại $M$. Chứng minh $A$, $D$, $M$, $I$ cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $\dfrac{OJ}{DE}$.
Giải
a) Ta có $\angle BEC = \angle ADC =60^\circ $ ($ADCE$ nội tiếp) và $\angle ABC = \angle ADC = 60^\circ $ ($ABCD$ là hình bình hành)
Tam giác $BCE$ có $\angle EBC =\angle BEC = 60^\circ $ nên là tam giác đều.
Ta có $\angle DCE = 180^\circ – \angle DAE =60^\circ $, suy ra $\angle DCE = \angle ADC$ nên hình thang $AECD$ là hình thang cân
Khi đó $\angle ACD = \angle EDC$, tam giác $ICD$ cân tại $I$.
Ta có $IC = ID$, $OC = OD$ nên OI là trung trực của $CD$. Do đó $OI \bot CD$
b) Ta có $K$ là trung điểm $BD$ nên $K$ cũng là trung điểm $AC$ do $ABCD$ là hình bình hành
Khi đó $OK \bot AC$ và OK là trung trực của AC. Suy ra$MA=MC$. Suy ra $\angle MAC = \angle ACM$.
Mà $\angle ACM = \angle IDM $
Từ đó $\angle IDM = \angle MAC$. Suy ra tứ giác $AIMD$ nội tiếp.
c) Ta có $JK \bot AC$. Suy ra $I$, $K$, $O$ thẳng hàng. Do tam giác $ABC$ và tam giác $ACD$ bằng nhau nên $JK = OK$.
Mặt khác $\angle KJC = \dfrac{1}{2} \angle AJC = \angle ABC =60^\circ $
Khi đó $\dfrac{KJ}{CK}=\cot \angle KJC = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Mà $OJ=2JK$, $DE=AC$ ($AECD$ là hình thang cân), $OK=\dfrac{1}{2}AC$.
Khi đó $\dfrac{OJ}{DE} = \dfrac{2JK}{AC}=\dfrac{2JK}{2CK}=\dfrac{KJ}{CK}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Vậy $\dfrac{OJ}{DE}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Like this:
Like Loading...