Đề thi vào lớp 10 trường Phổ thông Năng khiếu năm 2019
Bài 1. Tìm $a$ biết
$$\dfrac{\left( \sqrt{a}+1 \right) ^2 – \left( \sqrt{a}-1 \right) ^2}{4\sqrt{a} \left( \sqrt{a}-1 \right) } – \dfrac{\left( \sqrt{2a+1} + \sqrt{a+1} \right) \left( \sqrt{2a+1} – \sqrt{a+1} \right) }{a\left( \sqrt{a}+1 \right) }=1 $$
Bài 2.
a) Giải phương trình: $\left( \sqrt{x+2}-x \right) \left( \sqrt{2x-5} -1 \right) =0 $
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x+y+3}= \sqrt{2x+3y+1} \\ x(y+1)-4(x+y)+54=0 \end{array} \right. $
Bài 3. Cho phương trình $x^2-(2m+1)x-12=0 $ $(1)$
a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho
$$x_1+x_2 -2x_1x_2=25 $$
b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa:
$$x_1^2 -x_2^2 -7(2m+1)=0 $$
Bài 4.
a) Từ ngày $1/1/2019$ đến $20/5/2019$, giá bán lẻ xăng RON $95$ có đúng bốn lần tăng và một lần giảm. Các thời điểm thay đổi giá xăng RON $95$ trong năm $2019$ (tính đến ngày $20/5/2019$) được cho bởi bảng sau:
Từ $16$ giờ chiều $2/5/2019$ giá bán lẻ $1$ lít xăng RON $95$ tăng thêm khoảng $25\%$ so với giá $1$ lít xăng RON $95$ ngày $1/1/2019$. Nếu ông $A$ mua $100$ lít xăng RON $95$ ngày $2/1/2019$ thì cũng với số tiền đó ông $A$ sẽ mua được bao nhiêu lít xăng RON $95$ vào ngày $3/5/2019$? Cũng trong $2$ ngày đó ($2/1$ và $3/5$), ông $B$ đã mua tổng cộng $200$ lít xăng RON $95$ với tổng số tiền $3850000$ đồng, hỏi ông $B$ đã mua bao nhiêu lít xăng vào ngày $3/5/2019$?
b) Tứ giác $ABCD$ có chu vi $18 \; cm$, $AB=\dfrac{3}{4} BC$, $CD= \dfrac{5}{4}BC$ và $AD=2AB$.
Tính độ dài các cạnh của tứ giác $ABCD$. Biết $AC=CD$, tính diện tích tứ giác $ABCD$.
a) Giá $1$ lít xăng RON $95$ vào $16$ giờ chiều $2/5/2019$ là: $$ 17600 \left( 1+ 25\% \right) = 22000 \; \text{(đồng)} $$
Số tiền ông $A$ đã dùng để mua $100$ lít xăng vào ngày $2/1/2019$ là: $$ 100 \cdot 17600 = 1760000 \; \text{(đồng)} $$
Lượng xăng ông $A$ có thể mua được vào ngày $3/5/2019$ với số tiền trên là: $$ 1760000 : 22000 = 80 \; (l)$$
Gọi $x$, $y$ (lít) lần lượt là lương xăng ông $B$ đã mua vào ngày $2/1$ và $3/5$. ($x, y >0$)
Ta có hệ sau:
$\left\{ \begin{array}{l} x+ y= 200 \\ 17600x + 22000y = 3850000 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x= 125 \\ y= 75 \end{array} \right. $
Vậy ông $B$ đã mua $75$ lít xăng RON $95$ vào ngày $3/5/2019$.
b) Ta có:
$AB+BC+CD+AD= 18 $
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}BC + BC + \dfrac{5}{4}BC + 2 \cdot \dfrac{3}{4}BC = 18 $
$\Leftrightarrow \dfrac{9}{2}BC = 18 \Leftrightarrow BC= 4 \; cm $
$\Rightarrow AB = 3 \; cm; CD= 5 \; cm; AD = 6 \; cm$
Tam giác $ABC$ có $AB^2+BC^2= 3^2 + 4^2 = 25 = AC^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$
$\Rightarrow S_{ABC}= \dfrac{1}{2} \cdot AB\cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 4= 6 \, cm^2$
Tam giác $ACD$ có $AC=CD$ nên cân tại $C$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$, suy ra $AM=MD=\dfrac{AD}{2}=3 \; cm$ và $CM \bot AD$
Tam giác $ACM$ vuông tại $M$ nên
$CM^2 + AM^2 = AC^2 \Rightarrow CM^2 = 5^2-3^2 = 16 \Rightarrow CM = 4\; cm$
$\Rightarrow S_{ACD}= \dfrac{1}{2} \cdot CM \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 \, cm^2$
Vậy $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD} = 6+12 =18 \; cm^2$
Bài 5. Hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(T)$ có tâm $O$, bán kính $R=2a$. Tiếp tuyến của $(T)$ tại $C$ cắt các tia $AB$, $AD$ lần lượt tại $E$, $F$.
a) Chứng minh $AB\cdot AE = AD \cdot AF$ và $BEFD$ là tứ giác nội tiếp.
b) Đường thẳng $d$ đi qua $A$, $d$ vuông góc với $BD$ và $d$ cắt $(T)$, $EF$ theo thứ tự tại $M$, $N$ ($M \ne A$). Chứng minh $BMNE$ là tứ giác nội tiếp và $N$ là trung điểm của $EF$.
c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$. Tính IN theo $a$
a) $ABCD$ là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $O$ là trung điểm của $AC, BD$.
Ta có $OC \bot EF$ (do EF là tiếp tuyến), $AD \bot CD$ do $ABCD$ là hình chữ nhật.
Tam giác $ACF$ vuông tại $C$ có $CD$ là đường cao nên $AD \cdot AF = AC^2$.
Tương tự, tam giác $ACE$ vuông tại $C$ có $CB$ là đường cao nên $AB \cdot AE = AC^2$.
Do đó $AD \cdot AF = AB \cdot AE$.
Suy ra $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AF}$.
Xét tam giác $ABD$ và $AFE$ có $\angle A$ chung và $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AF}$
nên $\triangle ABD \backsim \triangle AFE$, suy ra $\angle ABD = \angle AFE$, suy ra tứ giác $BDFE$ nội tiếp.
(Cách khác: $\angle ABD = \angle ACD$ mà $\angle ACD = \angle AFE$ (Cùng phụ $\angle DCF$)
Suy ra $\angle ABD = \angle AFE$).
b) Ta có $\angle AMB = \angle ACB$ (cùng chắn cung AB), mà $\angle ACB = \angle BEN$
(cùng phụ $\angle BCE$)
Suy ra $\angle AMB = \angle BEN$, suy ra $BENM$ nội tiếp.
Ta có $\angle BMA = \angle BDA$ (cùng chắn cung $AB$), mà $\angle BDA = \angle BAM$ (cùng phụ với $\angle ABD$)
Suy ra $\angle BMA = \angle BAM = \angle NAE$. Vậy $\angle NEA = \angle NAE$.
Tam giác $NAE$ có $\angle NEA = \angle NAE$ nên cân tại $N$ hay $NA = NE$.
Mà $\angle NEA + \angle NFA = 90^\circ = \angle NAE + \angle NAF$, suy ra $\angle NFA = \angle NAF$, suy ra $NA = NF$.
Vậy $NE = NA = NF$ hay $N$ là trung điểm $EF$.
c) Ta có $N$ là trung điểm $EF$ nên $IN \bot EF$, mà $AO \bot EF$, suy ra $IN \parallel AO$;
Và $IO \bot BD, AN \bot BD$, suy ra $IO \parallel AN$;
Do đó tứ giác $ANIO$ là hình bình hành, suy ra $IN = AO = R$.
