Vậy diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $ab=6\cdot 8 = 48 \, \left( cm^2 \right) $
Bài 3. Gọi $(P)$, $(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2mx+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( x_1;\, y_1\right) $, $B\left( x_2;\, y_2\right) $ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4y_2=x_1-4x_2+3x_1x_2$.
Giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$x^2=2mx+3 \Leftrightarrow x^2-2mx-3=0 \quad (1)$
Xét phương trình $(1)$, ta có: $\Delta’ = m^2 +3 > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( x_1;y_1 \right) $, $B\left( x_2; y_2 \right) $.
Theo định lý Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2 = 2m \\ x_1x_2 = -3 \end{array} \right. $
Với $x_1=4x_2$, lại có $x_1x_2= -3 \Rightarrow 4x_2^2 = -3$ (vô lý)
Vậy $m=\dfrac{1}{2}$
Bài 4. Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) trong $4$ ngày liên tiếp và mỗi ngày (kể từ ngày thứ $2$) đều nhập một lượng gạo bằng $120\%$ lượng gạo đã nhập vào kho trong ngày trước đó. Sau đó, từ ngày thứ $5$ kho ngừng nhập và mỗi ngày kho lại xuất một lượng gạo bằng $\dfrac{1}{10}$ lượng gạo trong kho ở ngày trước đó. Hãy tính lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ nhất trong mỗi trường hợp sau:
a) Ngày thứ $3$, sau khi nhập xong thì trong kho có $91$ tấn gạo.
b) Tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ $5$, thứ $6$ là $50,996$ tấn.
Giải
Gọi $x$ (tấn) là lượng gạo nhập vào kho ngày thứ nhất.($x>0$)
a) Lượng gạo nhập vào kho ngày sau bằng $120\%$ ngày trước nên tổng số gạo trong ba ngày nhập đầu tiên là:
Vậy lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ nhất trong trường hợp này là $50$ (tấn).
Bài 5. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(T)$ có tâm $O$ có $AB=AC$ và $\angle BAC > 90^\circ $. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, tia $MO$ cắt $(T)$ tại $D$, $BC$ lần lượt cắt $AO$ và $AD$ tại $N$, $P$.
a) Chứng minh $OCMN$ là tứ giác nội tiếp và $\angle BDC =4 \angle ODC$.
b) Phân giác góc $\angle BDP$ cắt $BC$ tại $E$, $ME$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh $CA=CP$ và $ME$ vuông góc với $DB$.
c) Chứng minh tam giác $MNE$ cân. Tính $\dfrac{DE}{DF}$.
Giải
a)
Ta có: $AB=AC$, $OB=OC$
$\Rightarrow OA$ là đường trung trực của $BC\Rightarrow OA\bot BC$ (tại $N$)
$M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow OM\bot AC$ (tại $M$)