a) Điều kiện xác định: $x\ge 0$

Ta có: $M=x-4\Leftrightarrow \dfrac{x\sqrt{x}-8}{3+\left( \sqrt{x}+1\right) ^2}=x-4$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left( \sqrt{x}-2\right) \left( x+2\sqrt{x}+4\right) }{3+x+2\sqrt{x}+1}=x-4$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}-2=x-4$

$\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt{x}=-1 \quad (l) \\ \sqrt{x}=2 \end{array} \right. $

$\Leftrightarrow x=4$ (nhận)

Vậy $S=\left\{ 4\right\} $

b) Điều kiện xác định $x\ge 0$, $x\ne 4$.

Ta có: $M=\sqrt{x}-2$

$N=\dfrac{\left( \sqrt{x}+1\right) ^3-\left( \sqrt{x}-1\right) ^3}{\left( x-4\right) \left( 3x+1\right) }$

$=\dfrac{x\sqrt{x}+3x+3\sqrt{x}+1-x\sqrt{x}+3x-3\sqrt{x}+1}{\left( x-4\right) \left( 3x+1\right) }$

$=\dfrac{6x+2}{\left( x-4\right) \left( 3x+1\right) }=\dfrac{2}{x-4}$

Ta có: $Q=M\cdot N +P=\left( \sqrt{x}-2\right)\cdot \dfrac{2}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}$

$=\dfrac{2\left( \sqrt{x}-2\right) }{\left( \sqrt{x}-2\right) \left( \sqrt{x}+2\right) }+\dfrac{\sqrt{x}}{ \sqrt{x}+2 } =\dfrac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=1$

Vậy $Q=1$

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x \ne 1 \end{array} \right. $

$\left( x^4 +4x^2 -5 \right) \left( \dfrac{x-3+\sqrt{3+x}}{\sqrt{x}-1} \right) =0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^4 +4x^2 -5 =0 \ (1) \\ \dfrac{x-3+\sqrt{3+x}}{\sqrt{x}-1} =0 \ (2) \end{array} \right. $

• $(1)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 =1 \\ x^2 = -5 \quad (l) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= 1 \hspace{0.74cm} (l) \\ x=-1 \quad (l) \end{array} \right. $
• $(2) \Leftrightarrow \sqrt{3+x} = 3-x \quad (x \le 3) $

$\Leftrightarrow 3+x = x^2 -6x +9 $

$\Leftrightarrow x^2 -7x +6 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \quad (l) \\ x=6 \quad (l) \end{array} \right. $

Vậy phương trình vô nghiệm.

b)

• $I(3;9) \in d: y=mx+m$ nên $9=3m+m \Leftrightarrow m= \dfrac{9}{4}$
• $I(3;9) \in d_1: y=x+3m+2n-nm$ nên $9=3+\dfrac{27}{4} +2n – \dfrac{9}{4}n \Leftrightarrow n=3 $

Suy ra $mn= \dfrac{27}{4} $ và $\dfrac{m}{n} = \dfrac{3}{4}$

c) Gọi $a$, $b$ $(cm)$ là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật $ABCD$. $(a \ge b >0)$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} 2(a+b)=28 \\ a^2+b^2 = 10^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+b=14 \\ (a+b)^2 – 2ab =100 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+b=14 \\ ab= 48 \end{array} \right. $

Vậy diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $ab=6\cdot 8 = 48 \, \left( cm^2 \right) $

a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$x^2=2mx+3 \Leftrightarrow x^2-2mx-3=0 \quad (1)$

Xét phương trình $(1)$, ta có: $\Delta’ = m^2 +3 > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$

Suy ra phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( x_1;y_1 \right) $, $B\left( x_2; y_2 \right) $.

Theo định lý Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2 = 2m \\ x_1x_2 = -3 \end{array} \right. $

Khi đó $y_1=2mx_1+3$, $y_2=2mx_2+3$;

$y_1 + y_2 = 2mx_1+3+2mx_2+3 = 2m\left( x_1 + x_2 \right) +6 = 4m^2 +6$

b) Ta có: $y_1 -4y_2 = x_1-4x_2 +3x_1x_2 $

$\Leftrightarrow 2mx_1+3 – 8mx_2 -12 = x_1-4x_2 -9 $

$\Leftrightarrow 2m\left( x_1 – 4x_2 \right) = x_1-4x_2 $

$\Leftrightarrow \left( x_1-4x_2 \right)(2m -1)=0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1=4x_2 \\ m=\dfrac{1}{2} \quad (n) \end{array} \right. $

Với $x_1=4x_2$, lại có $x_1x_2= -3 \Rightarrow 4x_2^2 = -3$ (vô lý)

Vậy $m=\dfrac{1}{2}$

Gọi $x$ (tấn) là lượng gạo nhập vào kho ngày thứ nhất.($x>0$)

a) Lượng gạo nhập vào kho ngày sau bằng $120\%$ ngày trước nên tổng số gạo trong ba ngày nhập đầu tiên là:

$x+x\cdot 120\%+x\cdot (120\%)^2=91$

$ \Leftrightarrow x\cdot \dfrac{91}{25}=91 \Leftrightarrow x=25 $ (tấn)

Vậy lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ nhất trong trường hợp này là $25$ (tấn).

b) Lượng gạo kho hàng nhập trong $4$ ngày liên tiếp là:

$x+x\cdot 120\%+x\cdot (120\%)^2+x\cdot (120\%)^3=x\cdot \dfrac{671}{125}$ (tấn)

Lượng gạo ngày thứ $5$ kho xuất: $ \dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{671}{125}x$ (tấn)

Lượng gạo còn lại sau ngày thứ $5$: $ \dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{671}{125}x$ (tấn)

Lượng gạo kho xuất ngày $6$ là:

$ \dfrac{1}{10}\cdot\left( \dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{671}{125}x\right) =\dfrac{9}{100}\cdot\dfrac{671}{125}x$ (tấn)

Vậy số gạo đã xuất trong ngày thứ $5$ và thứ $6$ là:

$ \dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{671}{125}x + \dfrac{9}{100}\cdot\dfrac{671}{125}x=50,996 \Leftrightarrow \dfrac{19}{100}\cdot\dfrac{671}{125}x=50,996 \Leftrightarrow x=50 $ (tấn)

Vậy lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ nhất trong trường hợp này là $50$ (tấn).

a)

• Ta có: $AB=AC$, $OB=OC$

$\Rightarrow OA$ là đường trung trực của $BC\Rightarrow OA\bot BC$ (tại $N$)

$M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow OM\bot AC$ (tại $M$)

Xét tứ giác $ONMC$ có: $\angle ONC =\angle OMC =90^\circ \Rightarrow ONMC$ nội tiếp.

• Ta có: $AB=AC\Rightarrow \angle BDA =\angle CDA $

$MD$ là trung trực $AC\Rightarrow \triangle DAC$ cân tại $D\Rightarrow DM$ là phân giác $\angle ADC$

$\Rightarrow \angle CDO =\dfrac{1}{2}\angle CDA =\dfrac{1}{4}\angle CDB$ hay $\angle CDB = 4\angle CDO$.

b)

• Ta có: $\angle ACB =\angle ADB =\angle ADC$

$\triangle ADC$ cân tại $D\Rightarrow \angle DAC =\angle ACD =\angle ACB +\angle DCB$ $(1)$

Và $\angle APC =\angle ADC +\angle DCB =\angle ACB +\angle DCB$ (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \angle APC =\angle DAC \Rightarrow \triangle ACP$ cân tại $C\Rightarrow CA=CP$

• Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với $BD$

$\angle EDP =\dfrac{1}{2}\angle BDA =\dfrac{1}{4}\angle BDC$

$\Rightarrow \angle EDM =\dfrac{1}{2}\angle BDC =\angle ACP$

$\Rightarrow DEMC$ nội tiếp $\Rightarrow \angle DEC =\angle DMC =90^\circ $

Mà $\left\{ \begin{array}{l} \angle BEK =\angle MEC =\angle CDM\\ \angle DBE =\angle DAC =\angle DCA \end{array}\right. $

$\Rightarrow \angle BEK +\angle DBE=\angle CDM +\angle DCA =90^\circ \Rightarrow \angle BKE=90^\circ $

$\Rightarrow ME$ vuông góc với $DB$.

c)

• Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \angle CNM =\angle ABC =\angle ADC\\ \angle NEM =\angle CDM =\dfrac{1}{2}\angle ADC \end{array}\right. $

Mà $\angle CNM =\angle NEM +\angle NME$

$ \Rightarrow \angle NME =\angle NEM \Rightarrow \triangle NME$ cân tại $N$.

• $\angle DEF =\angle ACD =\angle DBF $

$\Rightarrow DFBE$ nội tiếp $\Rightarrow \angle DFB=90^\circ $

$\Rightarrow \angle DFE =\angle DBE =\angle DEF \Rightarrow \triangle DFE$ cân $D \Rightarrow \dfrac{DE}{DF}=1$