Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=1$ và
$$
x_{n+1}=x_n+3 \sqrt{x_n}+\frac{n}{\sqrt{x_n}} \text { với mọi } n \geq 1 .
$$
a) Chứng minh rằng $\lim \dfrac{n}{x_n}=0$

b) Tính giới hạn $ \lim \dfrac{n^2}{x_n}$

Bài 2. (5 điểm)
a) Cho ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng
$$
|a-b|+|b-c|+|c-a| \leq 2 \sqrt{2} .
$$
b) Cho 2019 số thực $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$ thỏa mãn $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$
S=\left|a_1-a_2\right|+\left|a_2-a_3\right|+\cdots+\left|a_{2019}-a_1\right| .
$$

Bài 3. ( 5 điểm) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $a_1=5, a_2=13$ và
$$
a_{n+2}=5 a_{n+1}-6 a_n \text { với mọi } n \geq 2 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $a_{2^k}$ thì $p-1$ chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi số tự nhiên $k$.

Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $B C, C A, A B$.
a) Gọi $H_a$ là điểm đối xứng của $H$ qua $B C$, và $A^{\prime}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Gọi $O_a$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C$. Chứng minh rằng $H D^{\prime}, A^{\prime} O_a$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.
b) Lấy điểm $X$ sao cho tứ giác $A X D A^{\prime}$ là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $A H X, A B F, A C E$ có một điểm chung khác $A$.

Ngày thi thứ hai. Thời gian 180 phút.

Bài 5. (6 điểm) Cho hệ phương trình (tham số $a$):$\left\{\begin{array}{l}x-a y=y z \\\\y-a z=z x \\\\ z-a x=x y\end{array}\right.$ (với $x, y, z \in \mathbb{R}$ ).
a) Giải hệ khi $a=0$.
b) Chứng minh rằng hệ có 5 nghiệm khi $a>1$.

Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân có các đường cao $A D, B E, C F$ với $D, E, F$ là các chân đường cao. Đường tròn đường kính $A D$ cắt $D E, D F$ lần lượt tại $M, N$. Lấy các điểm $P, Q$ tương ứng trên $A B, A C$ sao cho $N P \perp A B, M Q \perp A C$. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P Q$.
a) Chứng minh rằng (I) tiếp xúc với $E F$.
b) Gọi $T$ là tiếp điểm của ( $I$ ) với $E F, K$ là giao điểm của $D T, M N$ và $L$ đối xứng với $A$ qua $M N$. Chứng minh rằng $(D K L)$ đi qua giao điểm của $M N$ và $E F$.

Bài 7. (7 điểm) Cho số nguyên dương $n>1$. Ký hiệu $T$ là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự $(x, y, z)$ trong đó $x, y, z$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và $1 \leq x, y, z \leq 2 n$. Một tập hợp $A$ các bộ có thứ tự $(u, v)$ được gọi là “liên kết” với $T$ nếu với mối phần tử $(x, y, z) \in T$ thì ${(x, y),(x, z),(y, z)} \cap A \neq \varnothing$.
a) Tính số phần tử của $T$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với $T$ có đúng $2 n(n-1)$ phần tử.
c) Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với $T$ có không ít hơn $2 n(n-1)$ phần tử.