Đối xứng trục
Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua $d$ thì thuộc hình kia và ngược lại.
Đường thẳng $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu mỗi điểm thuộc hình $H$ lấy đối xứng qua $d$ cũng thuộc hình $H$.
Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng qua trung điểm của hai đáy.
Đối xứng tâm
Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua điểm $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.\
– Quy ước: Điểm đối xứng với điểm $O$ qua điểm $O$ cũng là điểm $O$
Điểm $O$ gọi là tâm đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua điểm $O$ cũng thuộc hình $H$. Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình $H$ có tâm đối xứng $O$.
Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $BC, AC$ và $AB$. $X$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là điểm đối xứng của $X$ qua $M, N, P$. Chứng minh $AA’, BB’$ và $CC’$ đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$, $E$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AC$.
a) Chứng minh $A$ là trung điểm của đoạn $DE$.
b) Tứ giác $BDEC$ là hình gì? Tại sao?
c) Gọi $F$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng tam giác $FDE$ cân.
d) $EH$ cắt $BD$ tại $G$. Chứng minh $BG = BD$.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, về phía ngoài tam giác $ABC$ dựng các tam giác $BAD$ vuông cân tại $A$, $CAE$ vuông cân tại $A$. Dựng hình bình hành $ADFE$.
a) Chứng minh $CD = BE$ và $CD \perp BE$.
b) Chứng minh $AF = BC$ và $AF \perp BC$
c) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $AM \perp DE$ và $AM = \dfrac{1}{2} DE$.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn, điểm $D$ thuộc cạnh $BD$. Tìm các điểm $E$ thuộc $AB$ và $F$ thuộc $AC$ sao cho tam giác $DEF$ có chu vi nhỏ nhất.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $ABD$ vuông cân tại $B$, tam giác $ACE$ vuông cân tại $C$. Vẽ đường cao $AH$. Trên tia đối của tia $AH$ lấy điểm $D$ sao cho $AP = BC$. Chứng minh rằng $BE$, $CD$ và $PH$ đồng quy.
Bài 6. Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $AB$, đường thẳng qua $C$ vuông góc $AC$ cắt nhau tại $K$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.
a) Tứ giác $BHCK$ là hình gì? Tại sao?
b) Tứ giác $BPKC$ là hình gì? Tại sao?