Muốn so sánh hai góc $B O N$ và $A O M$ ta cần tính số đo của chúng.
Đã biết số đo của góc $A O M$ nên chỉ cần tính số đo của góc $B O N$.

Hai góc $A O M$ và $B O M$ kề bù nên $\widehat{A O M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{B O M}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$. Vì $O M \perp O N$ nên $\widehat{M O N}=90^{\circ}$.
Tia $O N$ nằm trong góc $B O M$ nên $\widehat{B O N}+\widehat{M O N}=\widehat{B O M}$
$\Rightarrow \widehat{B O N}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$. Vì $30^{\circ}=\dfrac{1}{2} \cdot 60^{\circ}$ nên $\widehat{B O N}=\dfrac{1}{2} \widehat{A O M}$.

Để chứng tỏ $O M \perp A B$ ta cần chứng tỏ góc $A O M$ hoặc góc $B O M$ có số đo bằng $90^{\circ}$

Ta có $\widehat{A O E}=\widehat{B O F} ; \widehat{M O E}=\widehat{M O F}$ (đề bài cho)
$$
\Rightarrow \widehat{A O E}+\widehat{M O E}=\widehat{B O F}+\widehat{M O F} \text {. }
$$

Tia $O E$ nằm giữa hai tia $O A, O M$; tia $O F$ nằm giũa hai tia $O B, O M$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O M}=\widehat{B O M}$. Mặt khác, $\widehat{A O M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{A O M}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$, suy ra $O M \perp O A$. Do đó $O M \perp A B$.

Muốn chứng tỏ tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O B$ ta cần chứng tỏ $\widehat{A O K}=\widehat{B O K}$. Muốn vậy cần chứng tỏ $\widehat{A O N}+\widehat{N O K}=\widehat{B O M}+\widehat{M O K}$.

Ta có $O M \perp O A \Rightarrow \widehat{A O M}=90^{\circ} ; O N \perp O B \Rightarrow \widehat{B O N}=90^{\circ}$.
Tia $O N$ nằm giữa hai tia $O A, O M$ nên $\widehat{A O N}+\widehat{N O M}=\widehat{A O M}=90^{\circ}$;
Hinh2.6

Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O N$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N}=90^{\circ}$.
Suy ra $\widehat{A O N}=\widehat{B O M}$ (cùng phụ với $\widehat{M O N}$ ).
Tia $O K$ là tia phân giác của góc $M O N$ nên $\widehat{N O K}=\widehat{M O K}$.
Do đó $\widehat{A O N}+\widehat{N O K}=\widehat{B O M}+\widehat{M O K}$.
Vi tia $O N$ nằm giũ̃a hai tia $O A, O K$ và tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O K$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O K}=\widehat{B O K}$. Mặt khác, tia $O K$ nằm giũa hai tia $O A, O B$ nên tia $O K$ cũng là tia phân giác của góc $A O B$.

Vì $A B \perp C D$ nên $ \widehat{A O C}=90^{\circ}$

Vì tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=45^{\circ}$.
Ta có $\widehat{K O D}+\widehat{O_1}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)
$$
\Rightarrow \widehat{K O D}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \text {. }
$$
$\widehat{K O B}+\widehat{O_2}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)
$$
\Rightarrow \widehat{K O B}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \text {. }
$$

Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{M O C}=\frac{1}{2} \widehat{A O C}$ mà $\widehat{A O C}=4 \widehat{B O C}$ nên $\widehat{M O C}=2 \widehat{B O C}$.

Nếu $O M \perp O B$ thì $\widehat{M O B}=90^{\circ}$.
Ta có $\widehat{M O C}+\widehat{B O C}=90^{\circ}$ do đó $2 \widehat{B O C}+\widehat{B O C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{B O C}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{A O C}=4.30^{\circ}=120^{\circ}$.

a) Ta có $O C \perp O A$ nên $\widehat{A O C}=90^{\circ}$; OD $\perp O B$ nên $\widehat{B O D}=90^{\circ}$.

Tia $O D$ nằm trong góc $A O B$ nên $\widehat{A O D}+\widehat{B O D}=\widehat{A O B}$.
$$
\Rightarrow \widehat{A O D}=\widehat{A O B}-\widehat{B O D}=m^{\circ}-90^{\circ}
$$

Tia $O C$ nằm trong góc $A O B$ nên $\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=\widehat{A O B}$
$$
\Rightarrow \widehat{B O C}=\widehat{A O B}-\widehat{A O C}=m^{\circ}-90^{\circ}
$$
Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}\left(=m^{\circ}-90^{\circ}\right)$.
b) Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O B$ và $O D$. Suy ra $\widehat{B O C}+\widehat{D O C}=\widehat{B O D}=90^{\circ}$.

Nếu $\widehat{B O C}=\widehat{D O C}$ thì $\widehat{D O C}=90^{\circ}: 2=45^{\circ}$.

Vì $\widehat{M O N}$ là góc bẹt nên $\widehat{O_1}+\widehat{O_3}+\widehat{A O C}=180^{\circ}$
$$
\widehat{O_2}+\widehat{O_4}+\widehat{B O D}=180^{\circ}
$$

Mặt khác, $\widehat{O_1}=\widehat{O_2} ; \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ (đề bài cho) nên từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A O C}=\widehat{B O D}$.
Vì $\widehat{A O C}=90^{\circ}$ nên $\widehat{B O D}=90^{\circ} \Rightarrow O B \perp O D$.

Ta có $O C \perp O A \Rightarrow \widehat{A O C}=90^{\circ}$. $O D \perp O B \Rightarrow \widehat{B O D}=90^{\circ}$.
Tia $O B$ nằm giữa hai tia $O A, O C$.
Do đó $\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90^{\circ}$.
Tương tự, ta có $\widehat{A O B}+\widehat{A O D}=90^{\circ}$.
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{B O C}=\widehat{A O D}$ (cùng phụ với $\widehat{A O B}$ ).
Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O D \Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\frac{\widehat{A O D}}{2}$.
Hinh 2.12

Tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C \Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}=\frac{\widehat{B O C}}{2}$.
Vi $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$.
Ta có $\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{A O B}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{A O B}+\widehat{O_3}+\widehat{O_2}=90^{\circ}$.
Do đó $\widehat{M O N}=90^{\circ} \Rightarrow O M \perp O N$.

a) Ta có $\widehat{A O N}+\widehat{B O N}=180^{\circ} ; \widehat{B O M}+\widehat{A O M}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{A O M}=\widehat{B O N}$ (đề bài cho) nên $\widehat{A O N}=\widehat{B O M}$.

Mặt khác, tia $O C$ là tia phân giác của góc $M O N$ nên $\widehat{C O N}=\widehat{C O M}$.
Do đó $\widehat{A O N}+\widehat{C O N}=\widehat{B O M}+\widehat{C O M}$
Ta có tia $O N$ nằm giữa hai tia $O A, O C$; tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B$, $O C$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O C}=\widehat{B O C}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$. Vậy $O C \perp A B$.
Hinh 2.13
b) Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B$ và $O N$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N}=m^{\circ}$

Mặt khác $\widehat{B O M}=180^{\circ}-\widehat{A O M}=180^{\circ}-m^{\circ}$
(2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\left(180^{\circ}-m^{\circ}\right)+90^{\circ}=m^{\circ} \Rightarrow 2 m^{\circ}=270^{\circ} \Rightarrow m^{\circ}=135^{\circ}$.
Vậy $m=135$.

a) Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O B$ nên $\widehat{A O M}=\widehat{B O M}=120^{\circ}: 2=60^{\circ}$.

Ta có $O C \perp O B \Rightarrow \widehat{B O C}=90^{\circ}$.
Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O C$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{C O M}=\widehat{B O C}$ $\Rightarrow \widehat{C O M}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O B$ nên $\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=\widehat{A O B}$
$\Rightarrow \widehat{A O C}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$.

Vậy $\widehat{A O C}=\widehat{C O M}\left(=30^{\circ}\right)$.
Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O M$ nên từ (1) suy ra tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O M$.
b) Ta có $O M \perp O N \Rightarrow \widehat{M O N}=90^{\circ}$.

Tia $O A$ nằm giữa hai tia $O N, O M$ nên $\widehat{A O N}+\widehat{A O M}=\widehat{M O N}$.
Suy ra $\widehat{A O N}=\widehat{M O N}-\widehat{A O M}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{A O N}=\widehat{A O C}\left(=30^{\circ}\right)$
Tia $O A$ nằm giữa hai tia $O N, O C$ nên từ (2) suy ra tia $O A$ là tia phân giác của góc $C O N$.

Ta có $O C \perp A B$ nên $\widehat{A O C}=\widehat{B O C}=90^{\circ}$
Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O B$.
Từ (1) và (2) suy ra tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O B$.
Ta có $\widehat{B O M}=\widehat{C O N}=\frac{1}{3} \widehat{B O C}=30^{\circ}$.
Tia $O N$ nằm trong góc $B O C$ nên $\widehat{B O N}+\widehat{C O N}=\widehat{B O C}$.
Suy ra $\widehat{B O N}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O N$.
Do đó $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N} \Rightarrow \widehat{M O N}=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{B O M}=\widehat{M O N}=\widehat{C O N}=30^{\circ}$
Từ (3) và (4) suy ra tia $O M$ là tia phân giác của góc $B O N$.
Tia $O N$ nằm giữa hai tia $O M$ và $O C$
Từ (4) và (5) suy ra tia $O N$ là tia phân giác của góc $C O M$.
Tóm lại, các tia $O C, O M, O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O B, B O N$ và $C O M$.

Ta có $O M \perp O N \Rightarrow \widehat{M O N}=90^{\circ}$.
Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{A O M}=\widehat{M O C}$.
Tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C$ nên $\widehat{B O N}=\widehat{N O C}$.
Xét tổng
$$
\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=2 \widehat{M O C}+2 \widehat{N O C}=2(\widehat{M O C}+\widehat{N O C})=2 \widehat{M O N}=2.90^{\circ}=180^{\circ} \text {. }
$$

Hai góc kề $A O C$ và $B O C$ có tổng bằng $180^{\circ}$ nên hai tia $O A, O B$ đối nhau.

• Trường hợp $A E=B F<a$ :

Gọi $M$ là trung điểm của $A B$. Khi đó $M A=M B=a$.
Điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $M$, điểm $F$ nằm giữa hai điểm $B$ và $M$.

Do đó $M E=M A-A E=a-A E ; M F=M B-B F=a-B F$.
Vì $A E=B F$ nên $M E=M F$. Vậy $M$ là trung điểm chung của hai đoạn thẳng $A B$ và $E F$. Qua $M$ vẽ $x y \perp A B$ thì $x y$ là đường trung trực chung của $A B$ và $E F$.

• Trường hợp $A E=B F>a$ : Chứng minh tương tự.

Ta có $M N \perp x y ; N P \perp x y$ (vì $x y$ là đường trung trực của $N P$ ). Qua điểm $N$ chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với $x y$, suy ra ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng. (1)

Ta có $N P \perp x y ; P Q \perp x y$. Qua điểm $P$ chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với $x y$, suy ra ba điểm $N, P, Q$ thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng vì chúng cùng thuộc đường thẳng $N P$.

Trên hình 2.8a) có $A H \perp O x, A K \perp O y$ nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc $H A K$ và góc $x O y$; góc $H A t$ và góc $x O y$.
Trên hình 2.8 b ) có $A B \perp A C$ và $A H \perp B C$ nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc $B A H$ và góc $C$; góc $C A H$ và góc $B$.