I. Lý thuyết
1. Phương trình thuần nhất với một hàm số lượng giác
- Bậc nhất: $a\sin x+b=0$ (hoặc $a\cos x+b=0, a\tan x+b=0, a\cot x+b=0$).
- Bậc hai: $a\sin^2 x+b\sin x+c=0$
(hoặc $a\cos^2 x+b\cos x+c=0, a\tan^2 x+b\tan x+c=0, a\cot^2 x+b\cot x+c=0)$
Cách giải: Đặt ẩn phụ $t=\sin x (t=\cos x, t=\tan x, t=\cot x)$, đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo $t$.
Chú ý: Với ẩn phụ $t=\sin x (t=\cos x)$ thì phải có điều kiện $|t| \le 1$.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{3} \cot (3x-30^o)-1=0$
b) $\cot^2 x+(\sqrt{3}-1)\cot x-\sqrt{3}=0$
c) $6\sin^2 x+5\cos x-4=0$
d) $\cos 2x+3\sin x -1=0$
e) $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}=3\tan x+\sqrt{3}$
Đáp số
a) $\sqrt{3} \cot (3x-30^o)-1=0 \Leftrightarrow \cot (3x-30^o)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\cot 60^o$
$\Leftrightarrow 3x-30^o=60^o+k180^o \Leftrightarrow x=30^o+k60^o (k \in \mathbb{Z})$
b) Điều kiện: $x \ne k\pi$. Ta có: $\cot^2 x+(\sqrt{3}-1)\cot x-\sqrt{3}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cot x=1=\cot \dfrac{\pi}{4} \\ \cot x= -\sqrt{3}=\cot \left(-\dfrac{\pi}{6} \right) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
c) $6\sin^2 x+5\cos x-4=0 \Leftrightarrow 6(1-\cos^2x)+5\cos x -4=0$
$\Leftrightarrow 6\cos^2 x -5\cos x -2 =0 (*).$
Đặt $t=\cos x$, điều kiện $|t| \le 1$. Phương trình (*) trở thành:
$ 6t^2-5t-2=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}$ (thỏa mãn) hoặc $t=\dfrac{5+\sqrt{73}}{12}$ (loại vì không thỏa điều kiện).
Do đó: $\cos x=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha +k2\pi$ với $\cos \alpha =\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}.$
Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm: $x=\pm \alpha +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
c) $\cos 2x +3\sin x -1=0 \Leftrightarrow 1-2\sin^2 x+3\sin x-1=0$
$\Leftrightarrow \sin x(-2\sin x+3)=0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \ (nhận) \\ \sin x=\dfrac{3}{2} \ (loại) \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$
Vậy phương trình có nghiệm: $x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
e) Điều kiện: $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi.$ Vì $\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$ nên:
$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}=3\tan x+\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3} (1+\tan^2 x)=3\tan x+\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{3} \tan^2 x-3\tan x =0$
Đặt $t=\tan x$, khi đó phương trình đã cho trở thành:
$ \sqrt{3} t^2-3t=0 \Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=\sqrt{3}$
+ Với $t=0$ ta có $\tan x =0 \Leftrightarrow x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
+ Với $t=\sqrt{3}$ ta có $\tan x=\sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$
Vậy phương trình có các họ nghiệm: $x=k\pi; x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi.$
2. Phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$
$a \sin x+b\cos x =c \ (1)$
($a,b$ là các số đã cho khác 0).
Cách giải. Chia vế của (1) cho $\sqrt{a^2+b^2}$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+ \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos b =\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (2)
Vì $\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1$ nên có số $\alpha$ sao cho:
$\cos \alpha =\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},$ phương trình (2) trở thành:
$\sin x \cos \alpha+\sin \alpha \cos x=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} $ (3)
Phương trình (3) có nghiệm $\Leftrightarrow \left|\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \le 1 \Leftrightarrow a^2+b^2 \ge c^2.$
Khi đó (3) $\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=\sin \beta$ (trong đó $\sin \beta=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a) $5\sin x-12\cos x =13$
b) $\sqrt{3} \sin x-\cos x=2$
c) $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)^2+\sqrt{3}\cos x=2$
d) $4\cos^2 x+3\sin 2x=7$
Đáp số
a) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ ta được:
$\dfrac{5}{13}\sin x-\dfrac{12}{13}\cos x=1 (*).$ Đặt $\cos \varphi =\dfrac{5}{13}$ với $0< \varphi<\dfrac{\pi}{2}.$
Khi đó $\sin \varphi =\dfrac{12}{13}.$ Phương trình (*) trở thành:
$\sin x\cos x-\sin x \cos x=1 \Leftrightarrow \sin (x-\varphi)=1 \Leftrightarrow x-\varphi =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
Vậy phương trình có nghiệm: $x=\varphi +\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
b) $\sqrt{3} \sin x-\cos x=2 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x=1$
$\Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{6}\cos x=1 \Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$
$x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
c) $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)^2+\sqrt{3}\cos x=2 \Leftrightarrow \sin^2 \dfrac{\pi}{2}+\cos^2 \dfrac{\pi}{2}+2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x=2$
$\Leftrightarrow \sin x+\sqrt{3}\cos x=1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix} \right. (k\in \mathbb{Z})$.
d) $4\cos^2 x+3\sin 2x=7 \Leftrightarrow 4\left(\dfrac{1+\cos 2x}{2}\right)+3\sin 2x=7$
$\Leftrightarrow 2\cos 2x+3\sin 2x=5$
Ta thấy phương trình có $a^2+b^2=13<c^2=25$.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
II. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a) $\dfrac{2\sin x+1}{2\cos x-\sqrt{3}}=0$
b) $\sqrt{\sin x}.(2\cos x+1)=0$
c) $\cos 2x \sin\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)-\sin2x\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. Giải các phương trình sau:
a) $-2\sin^2 x+5\sin x+3=0$
b) $\cos 2x+\sin^2 x+2\cos x+1=0$
c) $\dfrac{\sqrt{3}}{\sin^2x}=3\cot x+\sqrt{3}$
3. Giải các phương trình sau:
a) $\sin x -\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$
b) $(\sqrt{3}-2)\cos 3x+\sin 3x-2=0$
c) $\sin(x+45^o)+\cos(x+45^o)=\sqrt{2}\sin 4x$
Đáp số
1. a) $x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$
b) $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi; x=k\pi$
c) $x=-\dfrac{\pi}{30}+k\dfrac{2\pi}{5}; x=-\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5}$
2. a) $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$
b) $x=\pi+k2\pi$
c) $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$
3. a) $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$
b) Vô nghiệm.
c) $x=30^o+k120^o; x=18^o+k72^o$.
Like this:
Like Loading...
