Phương pháp nhân lượng liên hợp được sự dụng khi phương trình có độ phức tạp cao, lệch bậc nhiều ở các biểu thức chứa căn và nghiệm của phương trình thường dễ đoán và có ít nghiệm.
Nội dung phương pháp là ta phải đoán được nghiệm, thêm bớt (tách) và nhóm các số hạng phù hợp và nhân chia với biểu thức liên hợp để xuất hiện nhân tử. Ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ 1
Giải phương trình:
$$\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3(x^2-x-1)}-\sqrt{x^2-3x+4}$$

Lời giải

Ta có

$\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3(x^2-x-1)}-\sqrt{x^2-3x+4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3(x^2-x-1)}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3(x^2-x+1)}}=\dfrac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow
-(x-2)\left[ \dfrac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3(x^2-x+1)}}+\dfrac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\right] =0$
$\Leftrightarrow x=2.$

(Rõ ràng biểu thức trong ngoặc “[]” là dương)
Thử lại ta thấy $x=2$ thoả mãn.
Vậy $x=2$ là nghiệm của phương trình.

Ta có bước thử lại vì chưa đặt điều kiện của phương trình.

Ví dụ 2 Giải phương trình $$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-1}$$

Lời giải
Điều kiện $x \ge \sqrt[3]{2}$.

$\sqrt[3]{x^2-1}-2+x-3=\sqrt{x^2-2}-5$
$\Leftrightarrow (x-3)[1+\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^1-1)^2}+2\sqrt[]{x^2-1}+4}]=\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{\sqrt{x^3-2}+5}$
$\Leftrightarrow (x-3)[1+\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}- \dfrac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-x}+5}]=0$
$\Leftrightarrow x=3.$

Vì $$1+\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}=1+\dfrac{x+2}{(\sqrt[3]{x^2-1}+1)^2+3}<2<\dfrac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-x}+5}.$$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$

Ví dụ 3 Giải phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1.$

Lời giải
Điều kiện $2 \le x \le 4$.
Khi đó

$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-2}-1+\sqrt{4-x}-1=2x^2-5x-3$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}-\dfrac{x-3}{\sqrt{4-x}+1}=(x-3)(2x+1)$
$\Leftrightarrow (x-3)[\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{4-x}+1}-(2x+1)]=0$
$\Leftrightarrow x=3.$

Vì

$\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1} \le 1$
$\dfrac{1}{\sqrt{4-x}+1} \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1 $
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{4-x}+1} \le 2-\sqrt{2}.$
Và $2x+1 \ge 5 $ (do \ x \ge 2$
$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2.$

Ví dụ 4 Giải phương trình $x^2+x-1=(x+2)\sqrt{x^2-2x+2}$.

Lời giải
Ta có

$x^2+x-1=(x+2)\sqrt{x^2-2x+2}$
$\Leftrightarrow x^2-2x-7+3(x+2)-(x+2)\sqrt{x^2-2x+2}=0$
$\Leftrightarrow x^2-2x-7+(x+2)(3-\sqrt{x^2-2x+2})=0$
$\Leftrightarrow x^2-2x-7-\dfrac{(x+2)(x^2-2x-7)}{\sqrt{x^2-2x+2}+3}=0$
$\Leftrightarrow (x^2-2x-7)(1-\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2-2x+2}+3})=0$
$\Leftrightarrow (x^2-2x-7)[\dfrac{\sqrt{(x-1)^2+1}-(x-1)}{\sqrt{x^2-2x+2}+3}]=0$
$\Leftrightarrow x^2-2x-7=0$
$\Leftrightarrow x=1 \pm \sqrt{7}.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=1 \pm \sqrt{7}$.

Bài tập rèn luyện

Bài tập 1 Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6$
b) $\sqrt{x+1}+1=4x^2+\sqrt{3x}$
c) $\sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2}$

d) $\dfrac{2x^2}{(3-\sqrt{9+2x})^2}=x+21$
e) $9(x+1)^2=(3x+7)(1-\sqrt{3x+4})^2$

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$
b) $\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}-\sqrt{4-x} =2 \sqrt{3}$
c) $\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}$
d) $x^2-4x-2+\sqrt{x^2-4x+7}+\sqrt{5x-6}=0$
e) $3 \sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^2+8}-2=\sqrt{x^2+15}$

Bài tập 3 Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2-x+3}-\sqrt{21x-17}+x^2-x=0$
b) $x(x+1)(x-3)+3=\sqrt{4-x}+\sqrt{1+x}$
c) $\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^2+x+5$
d) $\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}=x^3+x^2-4x-4+|x|+|x-1|$

Bài tập 4 Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}=x^3+x^2-4x-1$
b) $3x^2-8x+3=3\sqrt{x+1}$
c) $2x^2-x-2=\sqrt{5x+6}$
d) $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=x^2-x-1$