Tag Archives: B

Đường thẳng vuông góc với bán kính cắt hai cạnh tạo thành tứ giác nội tiếp.

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính $AD$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AD$ cắt $CD, BD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh 4 điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Ta có $\angle ACD = 90^\circ = \angle AHE$, suy ra $AHCE$ nội tiếp, suy ra $\angle DAC = \angle DEF$.

Mà $\angle DBC = \angle DAC$

Nên $\angle DBC = \angle DEF$, suy ra tứ giác $BCEF$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Bài tứ giác nội tiếp cơ bản

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ và trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $A$ trên $BM$. Chứng minh tứ giác $HDMC$ nội tiếp.

Gợi ý

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $BH.BC = AB^2$.(1)

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $BH.BC = AB^2$.(1)

Tam giác $ABM$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường cao nên $BD.BM = AB^2$.(2)

Từ (1) và (2), suy ra $BH.BC = BD.BM$, suy ra $\Delta BDH \backsim \Delta BCM \Rightarrow \angle BDH = \angle BCM$.

Tứ giác $HDMC$ có $\angle BDH = \angle BCM$ nên là tứ giác nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Hình chiếu vuông góc của chân đường cao trên hai cạnh

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H $ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng: (a) $AD.AB = AE.AC$. (b) Tứ giác $BDEC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

(a)  Tam giác $ABH$ vuông tại H có đường cao HD nên $AD.AB = AH^2$. (1)

Tam giác $ACH$ vuông tại H có đường cao $HE$ nên $AE.AC = AH^2$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD.AB = AE.AC$.

(b)  Từ $AD.AC = AE.AC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Xét tam giác $ADE$ và $ACB$ có $\angle BAC$ chung và $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ nên $\Delta ADE \backsim \Delta ACB$, suy ra $\angle ADE  = \angle ACB$.

Tứ giác $BDEC$ có $\angle ADE = \angle ACB$ nên là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong).

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp tạo bởi hai tiếp tuyến cắt nhau.

1 Reply

Đề bài. Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$ với $B, C$ là các tiếp điểm. $OA$ cắt $BC$ tại $H$. (a) Chứng minh rằng tứ giác $OBAC$ nội tiếp. (b) Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ sao cho $E$ nằm giữa $A$ và $D$. Chứng minh rằng $O, H, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

(a)Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

(b) Ta có $AB = AC$ (t/c tiếp tuyến) và $OB = OC$, suy ra $OA$ là trung trực của $BC$, suy ra $OA \bot BC$ tại $H$.

Tam giác $ABO$ vuông có $BH$ là đường cao nên $AH.AO = AB^2$. (1)

Mặt khác $\Delta ABD \backsim AEB (g.g)$, suy ra $AD.AE = AB^2$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AD.AE = AH.AO$, suy ra $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$.

Xét tam giác AHE và tam giác EDO có $\angle DAO$ chung và $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$ nên $\Delta AHE \backsim \Delta ADO$, suy ra $\angle AHE = \angle ADO$, suy ra tứ giác $OHED$ nội tiếp.

Chú ý. Tứ giác $ABCD$ có hai cạnh bên $AD, BC$ cắt nhau tại P, hai đường chéo cắt nhau tại $Q$. Khi đó $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi:

  1. $PA.PD = PB.PC$.
  2. $QA.QC = QB.QD$.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Các đường cao tạo thành các tứ giác nội tiếp

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. (a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $BDHE$ là tứ giác nội tiếp. (b) Chứng minh các tứ giác $BFEC$, $AEDC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

(a) Xét tứ giác $AEHF$ có $\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

Xét tứ giác $AEHF$ có $\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).\\ Xét tứ giác $BDHE$ có $\angle BDH + \angle BEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

(b) Xét tứ giác $BFEC$ có $\angle BFC = \angle BEC = 90^\circ$, suy ra tứ giác $BFEC$ nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh với một góc vuông).

Tương tự ta có $\angle AEC = \angle ADC = 90^\circ$, suy ra tứ giác AEDC nội tiếp.