Tag Archives: BaiTap

Bài tập số học ôn thi vào lớp 10 – Phần 3

Bài 21. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n > 1$ thì $n^5 + n^4 + 1$ không là số nguyên

Lời giải

$n^5 + n^4 + 1 = n^5+n^4+n^3-n^3+1 = n^3(n^2+n+1) -(n-1)(n^2+n+1) = (n^2+n+1)(n^3-n+1)$
Mà $n^3-n+1 > 1, n^2+n+1>1$ với mọi $n>1$ nên $n^5+n^4+1$ không là số nguyên tố.

Bài 22. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho ${5^{{5^{n + 1}}}} + {5^{{5^n}}} + 1$ là một số nguyên tố.

Lời giải

Đặt $m = 5^n$ ta có bài trên.

Bài 23. Tìm số nguyên tố $p$ để $p^2 + 2^p$ cũng là số nguyên tố.

Lời giải

Nhận thấy $p=3$ thỏa đề bài.
Xét $p>3$ thì $p$ lẻ và $p$ không chia hết cho 3.
Khi đó $p^2 \equiv 1 (\mod 3)$ và $2^p \equiv -1 (\mod 3)$. Do đó $p^2 + 2^p \equiv 3$ nên không là số nguyên tố.

Bài 24. Cho $p, q$ là các số nguyên tố và phương trình $x^2 – px+q=0$ có nghiệm nguyên dương. Tìm $p$ và $q$.

Lời giải

Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình. Ta có $x_1 + x_2 = p, x_1 x_2 = q$. Do đó $x_1, x_2 $ đều là các số nguyên dương. Giả sử $x_1 \geq x_2$.
Suy ra $x_2 = 1, x_1 = q$, $1+q = p$. Do đó $p = 3, q=2$.
Thử lại thấy thỏa đề bài.

Bài 25. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tổng các ước dương của $p^4$ là một số chính phương.

Lời giải

Theo đề ta có phương trình $1+p+p^2+p^3+p^4 = x^2$.
Ta có $(2p^2+p)^2< 4x^2 < (2p^2+p+2)$.
Do đó $4x^2 = (2p^2+p+1) = 4p^2+4p^3+4p^2+4p+4$
$p^2 -2p – 3 = 0 \Leftrightarrow p=3$.

Bài 26. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x, y$ thỏa phương trình $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$.

Lời giải

$(x+y)(xy-p) = 5p$, $x+y \geq 2$ Do đó có các trường hợp sau:\\
$x+y = 5, xy-p=p$. Giải ra được $x=2, y=3, p=3$, $x=3, y=2, p=3$, $x=1, y=4, p=2$, $x=4,y=1, p=2$.\\
$x+y = p, xy -p=5$. $x^2-px+p+5 = 0$. $p^2-4(p+5) = =k^2 \Leftrightarrow (p-2)^2 – 24 = k^2 \Leftrightarrow (p-2-k)(p-2+k) = 24$. \\
Ta có $p-2-k, p-2+k$ cùng chẵn. Có các trường hợp sau:
+ $p-2-k = 2, p-2+k=12$, suy ra $p=9$ (loại)\\
+ $p-2 -k = 4, p-2+k = 6$, suy ra $p=7$. Khi đó $x+y = 7, xy = 12$. Giải ra được $x=3, y=4$ và $x=4, y=3$.

Bài 27. Cho các số nguyên dương $a, b, c, d$ thỏa $ab = cd$. Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là hợp số.

Lời giải

Đặt $k = (a,c), a= ka’, c=kc’$, Suy ra $a’b = c’d$, suy ra $b \vdots c’$, đặt $b = mc’$, suy ra $d=ma’$.
Khi đó $a+b+c+d = ka’+mc’ + kc’+ma’ = (k+m)(a’+c’)$ là hợp số.

Bài 28. Tìm tất cả các số nguyên tố $p>q>r$ sao cho $p-r, p-q, q-r$ cũng là các số nguyên tố.

Lời giải

Nếu các số $p, q, r$ đều lẻ, thì $p-r, p-q, q-r$ đề chẵn mà là số nguyên tố và bằng 2, vô lý.
Do đó có 1 số nguyên tố chẳn, suy ra $r = 2$.
$p-2, q-2, p-q$ nguyên tố. Suy ra $p-q = 2$.
Vậy $p-2, p,p+2$ là các số nguyên tố. Suy ra $p-2=3$, $p=5$, $q=7$.

Bài 29. Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn hệ thức $p + q = {\left( {p – q} \right)^3}$

Lời giải

$p-q = r$ ta có $r^3 =2p+r$. Suy ra $p = \dfrac{r^3-r}{2}$ chia hết cho 3. Suy ra $p=3, q=5$.

Bài 30. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho hệ phương trình $p+1=2x^2,p^2+ 1=2y^2$ có nghiệm nguyên.

Lời giải

Ta xét $y, x>0$. Ta có $p = 2$ không thỏa.
$p(p-1) = 2(y-x)(y+x)$, suy ra $p |2(y-x)(y+x)$
$p|y-x$, suy ra $2(x+y)|p-1$ (vô lý)
$p|x+y$, mặt khác $p > x, p > y$, suy ra $2p>x+y$, do đó $p = x+y$. Khi đó $p-1 = 2x – 2y$. Từ đó suy ra $x = \dfrac{3p-1}{4}$, thế vào ta giải ra được $p = 7, x = 2, y = 5$.

Bài tập tứ giác

Bài 1. Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

Giải
  Cho tứ giác $ABCD$.

  • Ta có $\angle{A_1} + \angle{B_1} + \angle{C_1} + \angle{D_1} = 360^\circ$,
    cần tính $\angle{A_2} + \angle{B_2} + \angle{C_2} + \angle{D_2}$.
  • $\angle{A_2} + \angle{B_2} + \angle{C_2} + \angle{D_2}$
  • $= (180^\circ – \angle{A_1}) + (180^\circ – \angle{B_1}) + (180^\circ – \angle{C_1}) + (180^\circ – \angle{D_1})$
  • $= 720^\circ – (\angle{A_1} + \angle{B_1} + \angle{C_1} + \angle{D_1}) = 720^\circ – 360^\circ = 360^\circ$.
  • Vậy tổng các góc ngoài của tứ giác bằng $360^\circ$.

 

Bài 2. Tứ giác $ABCD$ có $AB = BC$, $CD = DA$.
a) Chứng minh rằng $BD$ là đường trung trực của $AC$.
b) Cho biết $\angle{B} = 100^\circ$, $\angle{D} = 70^\circ$, tính $\angle{A}$ và $\angle{C}$.

Giải

a) $BA = BC$ và $DA = DC$ nên $BD$ là đường trung trực của $AC$.
b)

  • $\triangle{ABD} = \triangle{CBD}$ (c.c.c)
  • $\Rightarrow \angle{BAD} = \angle{BCD}$.
  • Ta lại có
    $\angle{BAD} + \angle{BCD} = 360^\circ – \angle{B} – \angle{D}$
  • $= 360^\circ – 100^\circ – 70^\circ = 190^\circ$.
  • Do đó $\angle{A} = \angle{C} = 190^\circ : 2 = 95^\circ$.

Bài 3. Tính các góc của tứ giác $ABCD$, biết rằng :
$\angle{A} : \angle{B} : \angle{C} : \angle{D} = 1 : 2 : 3 : 4$.

Giải
  • Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc của tứ giác :
    $\dfrac{\angle{A}}{1} = \dfrac{\angle{B}}{2} = \dfrac{\angle{C}}{3} = \dfrac{\angle{D}}{4} = \dfrac{\angle{A} + \angle{B} + angle{C} + \angle{D}}{1 + 2 + 3 +4} = \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ$
  • Do đó, $\angle{A} = 36^\circ, \angle{B} = 72^\circ, \angle{C} = 108^\circ, \angle{D} = 144^\circ$.

Bài 4. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{A} = 65^\circ$, $\angle{B} = 117^\circ$, $\angle{C} = 71^\circ$. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh $D$.

Giải

Tính góc $D$ của tứ giác $ABCD$, được $107^\circ$.

Góc ngoài tại đỉnh $D$ bằng $73^\circ$.

Bài 5. Chứng minh rằng tất cả các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, hoặc không thể đều là góc tù.

Giải

Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn $360^\circ$, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác bằng $360^\circ$. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn. Học sinh tự chứng minh bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

Bài 6. Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh $A$ và $C$ bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh $B và D$.

Giải
  • Gọi $\angle{A_1}$ và $\angle{C_1}$ là các góc trong tại các đỉnh $A$ và $C$. Gọi $\angle{A_2}$ và $\angle{C_2}$ là các góc ngoài tại các đỉnh $A$ và $C$.
  • Ta có: $\angle{A_2} + \angle{C_2} = (180^\circ – \angle{A_1}) + (180^\circ – \angle{C_1})$
  • $= 360^\circ – \angle{A_1} – \angle{C_1}$ (1)
  • Ta lại có : $\angle{B} + \angle{D} = 360^\circ – \angle{A_1} – \angle{C_1}$ (2)
  • Từ (1) và (2) suy ra : $\angle{A_2} + \angle{C_2} = \angle{B} + \angle{D}$.

Bài 7. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{A} = 110^\circ$, $\angle{B} = 100^\circ$. Các tia phân giác của các góc $C$ và $D$ cắt nhau ở $E$. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh $C$ và $D$ cắt nhau ở $F$. Tính $\angle{CED}$, $\angle{CFD}$.

Giải

Tứ giác $ABCD$ ta có
$\angle{C} + \angle{D} = 360^\circ – \angle{A} – \angle{B}
= 360^\circ – 110^\circ – 100^\circ = 150^\circ$
nên $\angle{C_1} + \angle{D_1} = \frac{angle{C_1} + \angle{D_1}} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ.
\triangle{CED} có \angle{CED} = 180^\circ – (angle{C_1} + \angle{D_1})
= 180^\circ – 75^\circ = 105^\circ$
Vì $DE$ và $DF$ là các tia phân giác của hai góc kề bù nên $DE \perp DF$. Trong tự, $CE \perp CF$.
Xét tứ giác $CEDF$:
$\angle{F} = 360^\circ – \angle{E} – \angle{ECF} – \angle{EDF} = 360^\circ – 105^\circ – 90^\circ – 90^\circ = 75^\circ$.

Bài tập tự giải.

  1. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{B} = \angle{A} + 10^\circ$, $\angle{C} = \angle{B} + 10^\circ$, $\angle{D} = \angle{C} + 10^\circ$. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
    (A) $\angle{A} = 65^\circ$ , (B) $\angle{B} = 85^\circ$ ; (C) $\angle{C} = 100^\circ$ ; (D) $\angle{D} = 90^\circ$.
  2. Tứ giác $ABCD$ có $\angle{C} = 60^\circ$, $\angle{D} = 80^\circ, \angle{A} – \angle{B} = 10^\circ$. Tính số đo các góc $A$ và $B$.
  3. Tứ giác $ABCD$ có chu vì 66cm. Tính độ dài $AC$, biết chu vi tam giác $ABC$ bằng 56cm, chu vi tam giác $ACD$ bằng 60cm.

Tỉ số lượng giác: Toán thực tế (phần 2)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN TOÁN THỰC TẾ

  1. Trên một con đường thẳng, hộp thư $M$ và cột đèn tín hiệu giao thông $E$ ở hai vị trí đối diện nhau. Bạn An di chuyển $30m$ dọc theo con đường, từ vị trí $E$ đến vị trí $T$. Phía bên kia đường, bạn Bình di chuyển $4m$ ngược hướng với $ME$, đến vị trí $S$; sau đó di chuyển 6m song song với con đường, đến vị trí $K$, sao cho ba điểm $T$, $M$, $K$ thẳng hàng. Tính độ rộng của con đường.
    Gợi ý
    $EM/MS = ET/SK \Rightarrow EM = 30 \times 6 \div 4 = 45m$
  2. Bạn An cao 1m6, đứng cách cây cột điện 8,1m. Bóng của bạn An trên mặt đất dài 2,4m. Hỏi cây cột điện cao bao nhiêu?
  3. Bạn An đẩy một đồng xu đường kính 3cm vào một hình nón đường kính 9cm. Hỏi đến khi đồng xu không đẩy thêm được nữa, thì nó cách đáy hình nón bao nhiêu cm?
  4. Một hình chữ nhật được gọi là hình chữ nhật vàng nếu ta có thể kẻ một đường thẳng song song với chiều rộng, chia hình chữ nhật thành một hình vuông và hình chữ nhật nhỏ, sao cho hình chữ nhật nhỏ đồng dạng với hình chữ nhật ban đầu. Khi đó, tỷ số chiều dài chia chiều rộng của hình chữ nhật vàng được gọi là tỷ lệ vàng. Chứng minh rằng tỷ lệ vàng bằng $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

    HÌnh chữ nhật vàng và tỷ lệ vàng: $AB/CD$.