CB Archives - Toán Việt

Cách thực hiện: Đưa nhân tử chung của các hạng tử của đa thức ra ngoài dấu ngoặc

$AB+AC=A(B+C)$

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $ x^2 -x. $
b) $ 5x^2(x-2y)-15x(x-2y) .$
c) $ 3(x-y) -5x(y-x). $
d) $ 3x- 6y. $

Giải

a) $ x^2 -x =x(x-1)$

b) $ 5x^2(x-2y)-15x(x-2y) = (x-2y)(5x^2-15x)=5x(x-3)(x-2y)$

c) $ 3(x-y) -5x(y-x)=3(x-y)+5x(x-y)=(x-y)(3-5x) $

d)$ 3x- 6y.=3(x-2y).$

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $ \dfrac{2}{5}x^2 +5x^3 +x^2y.$
b) $ 14x^2y -21xy^2 + 28x^2y^2. $
c) $ \dfrac{2}{5}x(y-1) -\dfrac{2}{5}y(y-1). $
d) $ 10x(x-y) – 8y(y-x). $

Giải

a) $ \dfrac{2}{5}x^2 +5x^3 +x^2y=x^2(\dfrac{2}{5}+5x+y)$
b) $ 14x^2y -21xy^2 + 28x^2y^2=7xy(2x-3y+4xy) $
c) $ \dfrac{2}{5}x(y-1) -\dfrac{2}{5}y(y-1)=\dfrac{2}{5}(y-1)(x-y)$
d) $ 10x(x-y) – 8y(y-x)=2(x-y) (5x+4y)$

Bài tập

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $3a-6b-9c$
b) $-7a-14ab-21b$
c) $8xy-24x+16y$.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $9ab-18a+9$
b) $4ax-2ay-2$
c) $-2a^2b-4ab^2-6ab$

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2axy-4a^2xy^2+6a^3x^2$
b) $12x^3y-6xy+3x$
c) $-8x^3y+16xy^2-24$
d) $m(x+y)-n(x+y)$
e) $ab(x-5)-a^2(5-x)$.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2a^2(x-y)-4a(y-x)$
b) $2a^2b(x+y)-4a^3b(-x-y)$
c) $x^{m+2}-x^2$
d) $x^{m+2}+x^m$.

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $x^2 – xy+ 2x$
b) $xy^2 – 3xy + xy^2$
c) $a^2b + 2a^2b^2 – 3a^2$
d) $x(x+y) – 2y^2(x+y)$.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $2(x^2-y^2) + x(x+y)$
b) $xy(x-2) + x^2 – 4$
c) $ab(a+b) + (a^2 – b^2)$.

Bài 7. Tính nhanh.

a) $ 85\cdot 12,7 + 5\cdot 3\cdot 12,7. $
b) $ 52\cdot 143 – 52 \cdot 39 – 8 \cdot 26. $
c) $ 97 \cdot 13 + 130 \cdot 0,3. $
d) $ 86\cdot 153 – 530 \cdot 8,6. $

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 12x^2 + 18x. $
b) $ 21x^2y – 14xy^2 + 7xy. $
c) $ x^2 + 2x. $
d) $ 15ab^2 – 25abc. $
e) $ -45x^3yz – 15xy^2z + 30x^2yz. $

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^4-4x^3-2x^2$.
b) $6x^2y + 9xy^2 -3xy$.
c) $2x^2y^2 -4x^3y^2 + 12x^3y^3$.
d) $ 3a^2(x-5) -6ab(5-x). $

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 15(x-2y) – 3x(2y-x). $
b) $ -12x^2 (-x+y) +18x^3(y-x). $
c) $xy(z+1) + 3x(z+1) – 4x^2(z+1)$.
d) $(x+1)^2+3(x-1)^3 – (x+1)^2$.

Bài 11. Tìm $ x $, biết:

a) $ x^3 -9x =0. $
b) $ x^2 – 4x = 0. $
c) $ 2x(x-5) +5-x =0. $

Bài 12. Tìm $ x $, biết:

a) $ x+ 5x^2 =0. $
b) $ x+1 =(x+1)^2. $
c) $ x^3 + x =0. $

I. Lý thuyết

Với $\alpha$ là một số cho trước.

$\sin x =\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\alpha +k2\pi\\x=\pi – \alpha +k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
$\cos x =\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\alpha +k2\pi\\x=- \alpha +k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
$\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi, k \in \mathbb{Z}$
$\cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x= \alpha +k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với điều kiện $m \in [-1;1]$ ta có:

$\sin x =m \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\arcsin m +k2\pi\\x=\pi – \arcsin m +k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
$\cos x =m \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\arccos m +k2\pi\\x= – \arccos m +k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

Nếu $|m|>1$ thì các phương trình $\sin x=m, \cos x=m$ vô nghiệm.

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) $2\sin x-1=0$

b) $2\cos(x-15^o)+1=0$

c) $\sqrt{3} \tan x=3$

d) $3\cot (2x+1)=-1$

Đáp số

a) $2\sin x-1-0 \Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}=\sin \dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{6} +k2\pi\\x=\pi – \dfrac{\pi}{6} +k2\pi \end{matrix} \right. $

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{6} +k2\pi\\x=\dfrac{5 \pi}{6} +k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

b) $2\cos (x-15^o)+1=0 \Leftrightarrow \cos (x-15^o)=-\dfrac{1}{2}=\cos 120^o$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-15^o=120^o+k360^o\\x-15^o=-120^o+k360^o \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=135^o+k360^o\\ x=-105^o+k360^o \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

c) $\sqrt{3} \tan x=3 \Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3} $

$\Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}{3}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

d) $3\cot (2x+1)=-1 \Leftrightarrow \cot (2x+1)=\dfrac{-1}{3} \Leftrightarrow 2x+1=arccot \left(-\dfrac{1}{3}\right)+k\pi $

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} arccot \left(-\dfrac{1}{3} \right)+\dfrac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

II. Bài tập

1. Giải các phương trình sau

a) $\sin 4x -\sin x=0$

b) $\cot (x+3)=\tan (x-1)$

c) $\sin 2x=\cos \left( \dfrac{\pi}{3}-x \right)$

d) $\sin 4x+\cos x =0$

Đáp số

a) $x=\dfrac{\pi}{5}+k2\pi; x=\dfrac{k2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{4}-1+k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

c) $ x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x=\dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

d) $x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}; x=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{k2\pi}{5}, k \in \mathbb{Z}$

2. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{2\sin x-1}{\sqrt{\cos x}}=0$

b) $\dfrac{(2\cos 2x-1)(\sin x-3)}{\sqrt{\sin x}}=0$

Đáp số

a) $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x= \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}$.

3. Giải các phương trình sau với điều kiện của nghiệm đã cho:

a) $\sin 2x -1=0$ với $0 <x<2\pi$;

b) $\tan (x+30^o)+1=0$ với $-90^o<x<360^o$

Đáp số

a) Tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ \dfrac{\pi}{12}; \dfrac{13\pi}{12}; \dfrac{5 \pi}{12}; \dfrac{17\pi}{12} \right\}$

b) Tập nghiệm của phương trình $S=\left\{-75^o; 105^o; 285^o \right\}$

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Tag Archives: CB

Phân tích đa thức thành nhân tử – Đặt thừa số chung

Phương trình lượng giác cơ bản