Tag Archives: Chia hết

Bài tập chứng minh chia hết – Ôn thi vào lớp 10

Leave a reply

Các bài toán chứng minh chia hết trong chương trình ôn thi vào lớp 10, dành cho các em rèn luyện.

Bài 1. (Lâm Đồng 2018 – 2019)

Với $ n $ là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng: $$ (20^n+16^n-3^n-1)\ \vdots \ 323. $$
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $5^{2n}+7$ chia hết cho 8.
Bài 3. (Bến Tre 2018 – 2019)
Cho $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $ p^2-1 $ chia hết cho 24.
Bài 4.  Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $3^{3n+1} + 2^{n+2}$ chia hết cho 7.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu $\overline{abc}$ chia hết cho 37 thì $\overline{bca}$ cũng chia hết cho 37.
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $(22n+7,33n+10)=1$
Bài 7. Chứng minh rằng nếu $a, b$ là các số nguyên thỏa $a^2 + b^2$ chia hết cho 3 thì cả hai số $a, b$ đều chia hết cho 3.

Bài 8. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $3^n + 5^n$ chia hết cho $3^{n-1} + 5^{n-1}$.
Bài 9. Cho $n$ là số tự nhiên không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $k$ thì ${\left( {k + 1} \right)^n} – {k^n} – 1$ chia hết cho ${k^2} + k + 1$
Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-1)!$ không chia hết cho $n$.
Bài 11. Chứng minh rằng nếu $n$ không chia hết cho 7 thì $n^3-1$ hoặc $n^3+1$ chia hết cho 7.

Bài 12. (Tuyên Quang 2018 – 2019) Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: nếu $ a^{2016}+b^{2017}+c^{2018} $ chia hết cho 6 thì $ a^{2018}+b^{2019}+c^{2020} $ cũng chia hết cho 6.

Bài 13. Cho các số nguyên $x, y, z$ thỏa $(x-y)(y-z)(z-x) = x+ y + z$. Chứng minh rằng $x + y + z$ chia hết cho 27.
Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a, b, c$ thì $abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3)$ chia hết cho 7.
Bài 15. Cho tập $A= {1,2,3,4,5,6,7}$. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau lấy từ A. Chứng minh rằng không tồn tại hai số $b, c$ thuộc S sao cho $b$ chia hết cho $c$.
Bài 16.  Cho các số nguyên $x, y, z$ khác 0.\ Đặt $x^2 – yz = a, y^2- xz = b, z^2 – xy = c$. \Chứng minh rằng $ax+by + cz $ chia hết cho $a+b+c$.
Bài 17.  Chứng minh rằng trong một 100 số tự nhiên thì có một số hoặc một vài số có tổng chia hết cho 100.
Bài 18.  Chứng minh rằng trong tập mọi tập con có $n+1$ phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 2n}$ thì luôn có hai số $a, b$ sao cho $a$ chia hết cho $b$.
Bài 19.  (PTNK 2019)
a) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+1$ chia hết cho 9.
b) Cho $n$ là số tự nhiên $n>3$. Chứng minh rằng $2^n+1$ không chia hết cho $2^m-1$ với mọi số tự nhiên $m$ sao cho $2 < m \leq n$.
Bài 20. Cho hai số nguyên dương $m$, $n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2\left( m^2+n^2-1\right) $.
Chứng minh rằng $ m\cdot n $ là số chính phương.
Bài 21. Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ không vượt quá $2019$ thỏa mãn $n^3+2019$ chia hết cho $6$.
Bài 22. (Đại học KHTN Hà Nội 2018 – 2019) Cho $x$, $y$ là các số nguyên sao cho $ x^2-2xy-y^2$; $xy-2y^{2}-x$ đều chia hết cho 5. Chứng minh $ 2x^2+y^2+2x+y$ cũng chia hết cho 5.
Bài 23. Cho $n$ số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên $k$ ta đặt $S_k=1^k+2^k+….+n^k $. Chứng minh rằng: $S_{2019}\ \vdots \ S_1 $.
Bài 24.  (Vinh 2018 – 2019) Cho số tự nhiên $ n\geq2 $ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $ p-1 $ chia hết cho $n$ đồng thời $ n^3-1 $ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $ n+p $ là một số chính phương.
Bài 25. Cho hai số $m,n$ nguyên dương lẻ nguyên tố cùng nhau và $m^2 + 2 \, \vdots \, n$ và $n^2 + 2 \, \vdots \, m$.  Chứng minh rằng $m^2 + n^2 + 2$ chia hết cho $4mn$.
Bài 26. Cho các số $m,n$ nguyên dương thỏa $5m + n$ chia hết cho $5n+m$. Chứng minh $m$ chia hết cho $n$.
Bài 27. Cho các số $x,y$ nguyên dương thỏa $x^2 + y^2 + 10$ chia hết cho $xy$.
a)  Chứng minh rằng $x,y$ là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng $k = \dfrac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho 4 và $k \geq 12$.

Hết

 

Phương pháp chứng minh chia hết – P4 – Nguyên lý Dirichlet

Leave a reply

Nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng trong toán học được phát biểu một cách đơn giản như sau: Nếu có $n+1$ con thỏ cho vào $n$ cái chuồng thì có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

Nếu áp dụng vào số học ta sẽ có phát biểu tương tự: Có $n+1$ số nguyên khi chia cho $n$ thì sẽ có hai số nào đó có cùng số dư khi chia cho $n$, hay có hai số mà hiệu của chúng sẽ chia hết cho $n$.

Trong bài này chúng ta sẽ sử dụng tích chất này để giải các bài toán về chia hết.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng trong 11 số chính phương có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 20.

Lời giải

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 11 số chính phương có hai số có hiệu chia hết cho 10. Giả sử đó là $a$ và $b$.

Ta có $a = m^2, b = n^2$ và $a-b = m^2-n^2$ chia hết cho 10. Khi đó $m, n$ cùng tính chẵn lẻ, suy ra $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$ chia hết cho 4.

Do đó $a-b = m^2-n^2$ chia hết cho 5, 4 nên chia hết cho 20.

Ví dụ 2. Với 4 số nguyên $a, b, c, d$.

Chứng minh rằng $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 12

Lời giải

Đặt $A = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$, ta chứng minh $A$ chia hết cho 3, 4.

  • Trong bốn số $a, b, c, d$ có hai số có cùng số dư khi chia cho 3, hay có hai số có hiệu chia hết cho 3. Do đó $A$ là tích các hiệu của hai số bất kì, nên $A$ chia hết cho 3.
  • Trong 4 số nếu có 3 số chẵn, hoặc 3 số lẻ, giả sử $a, b, c$ cùng tính chẵn lẻ, khi đó $(a-b)(b-c)$ chia hết cho 4. Do đó $A$ chia hết cho 3.
    • Nếu có hai số chẵn, hoặc hai số lẻ giả sử cặp $(a, b)$ và cặp $(c,d)$ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó $(a-b)(c-d)$ chia hết cho 4. Do đó $A$ chia hết cho 4.
  • Vậy $A$ chia hết cho 12.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng
a) rong 5 số nguyên thì có 3 số có tổng chia hết cho 3.
b) Trong 17 số nguyên thì có 9 số có tổng chia hết cho 9.

Lời giải

a) Một số khi chia cho 3 có các số dư là 0, 1, 2.

  • Nếu 5 số khi chia cho 3 có 1 hoặc 2 số dư, khi đó sẽ có 3 số có cùng số dư khi chia cho 3, tổng 3 số này sẽ chia hết cho 3.
  • Nếu 5 số khi chia cho 3 có đủ 3 số dư 0, 1, 2 thì tổng ba số có số dư khác nhau sẽ chia hết cho 3.
  • Vậy trong 5 số thì có 3 số có tổng chia hết cho 3.

b)  Gọi 17 số đó là $a_1, a_2, \cdots, a_{16}, a_{17}$.

Theo câu a) trong 5 số $a_1, \cdots, a_5$ có 3 số có tổng chia hết cho $3$, giả sử 3 số đó là $a_1, a_2, a_3$.

Đặt $b_1 = \dfrac{1}{3}(a_1+a_2+a_3)$.

Tương tự trong các số $a_4, a_5, \cdots, a_8$, có 3 số có tổng chia hết cho 3, giả sử là $a_4, a_5, a_6$.

Đặt $b_2 = \dfrac{1}{3}(a_4+a_5+a_6)$.

Tương tự ta sẽ có b_3, b_4.

Cuối cùng, còn 5 số $a_{13}, a_{14}, \cdots a_{17}$ có 3 số có tổng chia hết cho 3, giả sử là $a_{14}, a_{15}, a_{16}$.

Đặt $b_5 = \dfrac{1}{3}(a_{14} +a_{15} + a_{16})$.

Ta thấy các số $b_1, b_2, \cdots, b_5$ là các số nguyên, do đó áp dụng câu a) có 3 số có tổng chia hết cho 3, giả sử là $b_1, b_2, b_3$, tức là $b_1+b_2+b_3$ chia hết cho 3.

Từ đó ta có $a_1 + a_2 +\cdots +a_8+a_9$ chia hết cho 9.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong 100 số phân biệt, luôn có một số hoặc một tổng vài số chia hết cho 100.

Lời giải

Ta xét các tổng sau

$S_1 = a_1$

$S_2 = a_2$

…

$S_{100} = a_1 + a_2 + \cdots +a_{100}$

Nếu trong các số $S_1, S_2, \cdots, S_{100}$ có một số chia hết 100 thì ta có điều cần chứng minh.

Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì các số dư khi chia cho 100 là từ 1 đến 99, do đó tồn tại $i>j$ sao cho $S_i – S_j$ chia hết cho 100, hay $a_{j+1} + \cdots+a_i$ chia hết cho 100.

Do đó ta có điều cần chứng minh.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Chứng minh rằng tồn tại các số chỉ toàn chữ số 1 và chia hết cho 2019.

Bài 2. Chứng minh rằng mỗi tập con có $n+1$ phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 2n}$ có hai số mà số này chia hết cho số kia.

Phương pháp chứng minh chia hết – P3

Leave a reply

Tiếp theo là phương pháp sử dụng đồng dư để chứng minh các bài toán chia hết.

Một số tính chất về đồng dư các bạn có thể xem lại từ bài giảng đồng dư

Sau đây ta xét một vài ví dụ sau.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$:
a) $A = 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ chia hết cho 19.
b) $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1}$ chia hết cho 23.

Lời giải

a) $5^{2n} = 25^n \equiv 6^n (\mod 19) \Rightarrow 7 \cdot 5^{2n} = 7 \cdot 6^n (\mod 19)$

Suy ra $ 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \equiv 19 \cdot 6^n \equiv 0 (\mod 19)$.

Do đó $A = 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n$ chia hết cho 19.

b) Ta có $5^{2n+1}= 5 \cdot 25^n \equiv 5 \cdot 2^n (\mod 23)$.

Khi đó $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1} \equiv 5 \cdot 2^n + 16 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n (\mod 23)$

$\equiv 23 \cdot 2^n (\mod 23) \equiv 0 (\mod 23)$.

Do đó $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1}$ chia hết cho 23.

Ví dụ 2. Tìm tất các số $n$ để
a) $2^{2n} + 2^n + 1$ chia hết cho 5.
b) $2^n+ 1$ chia hết cho 9.

Lời giải

a) Ta thấy $16\equiv 1 (\mod 5)$, suy ra $16^n \equiv 1 (\mod 5)$.

Suy ra $2^{4k+r} \equiv 2^r (\mod 5)$.

Do đó ta xét $n$ theo moldun 4.

  • Nếu $n= 4k$, ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 3 (\mod 5)$.
  • Nếu $n = 4k+1$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 7 (\mod 5)$.
  • Nếu $n=4k+2$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 4 (\mod 5)$.
  • Nếu $n=4k+3$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 \equiv 1 (\mod 5)$.

Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2^{2n} + 2^n + 1$ chia hết cho 5.

b) Ta có $2^6 \equiv 1 (\mod 9)$, suy ra $2^{6k+r} equiv 2^r (\mod 9)$.

Đặt $n= 6k+r (0 \leq r \leq 5)$. Khi đó $2^n+1 \equiv 2^{6k+r}+1 \equiv 2^r + 1 (\mod 9)$

Do đó $2^n + 1$ chia hết cho 9 khi và chỉ khi $2^r+1$ chia hết cho 9, tìm ra được $r = 3$.

Vậy $n=6k+3$ với $k$ là số tự nhiên.

Ví dụ 3. Cho $a_n = 2^{2n+1} + 2^{n+1} + 1$ và $b_n = 2^{2n+1} – 2^{n+1} + 1$. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, có một và chỉ một trong hai số $a_n, b_n$ chia hết cho 5.

Lời giải

Ta cần chứng minh $a_nb_n$ chia hết cho 5 và $a_n+ b_n$ không chia hết cho 5 với mọi $n$.

  • $a_n\cdot b_n = 2^{4n+2} + 1 \equiv 0 (\mod 5)$.
  • $a_n + b_n = 2^{2n+2} + 2 \equiv 4(-1)^n + 2  (\mod 5) \equiv 1, -2 (\mod 5)$.

Do đó $a_nb_n$ chia hết cho 5 và $a_n+b_n$ không chia hết cho 5.

Do đó có một và chỉ một trong hai số $a_n$ hoặc $b_n$ chia hết cho 5.

Ví dụ 4. (PTNK 2019) Cho $ A_n = 2018^n + 2032^n – 1964^n – 1984^n $ với $ n $ là số tự nhiên.
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên $ n $ thì $ A_n $ chia hết cho $ 51 $.
b) Tìm tất cả những số tự nhiên $ n $ sao cho $ A_n $ chia hết cho $ 45. $

Lời giải

a) Do $ 2018 \equiv 1964 \quad \text{(mod 3)} \Rightarrow 2018^n \equiv 1964^n \quad \text{(mod 3)} . $
$ 2032 \equiv 1984 \quad \text{(mod 3)} \Rightarrow 2032^n \equiv 1984^n \quad \text{(mod 3)} $.
$ \Rightarrow A_n \ \vdots \ 3. $
Ta lại có $ 2018 \equiv 1984 \quad \text{(mod 17)} \Rightarrow 2018^n \equiv 1984^n \quad \text{(mod 17)} $.
$ 2032 \equiv 1964 \quad \text{(mod 17)} \Rightarrow 2032^n \equiv 1964^n \quad \text{(mod 17)} $.
$ \Rightarrow A_n \ \vdots\ 17. $
Do $ (3; 17) = 1 $ nên $ A_n \ \vdots \ 51 \quad \forall n$
b) $ A_n = 2018^n + 2032^n – 1964^n – 1984^n. $

b)

  • Ta xét các trường hợp của $ n $ để $ A_n \ \vdots \ 5. $
    Ta có $ A_n \equiv (-2)^n + 2^n -2\cdot(-1)^n $ (mod 5).
    Do đó nếu $ n $ lẻ $ \Rightarrow A_n \equiv 2 \quad $(mod 5)$ \quad \text{(loại)}$.
    Nếu $ n = 4k \Rightarrow A_n \equiv 2\cdot 2^{4k} -2 \equiv 2-2 \equiv 0 \quad$ (mod 5) (nhận)
    Nếu $ n = 4k + 2 \Rightarrow A_n \equiv 2\cdot 2^{4k+2} -2 \equiv 8 – 2 \equiv 6$ (mod 5) (loại).
    Vậy $ A_n \ \vdots \ 5 \Leftrightarrow n \ \vdots \ 4. $
  • Ta xét các trường hợp của $ n $ để $ A_n \ \vdots \ 9. $
    Ta có
    $A_n \equiv 2^n + (-2)^n – 2^n – 4^n \quad  (\mod 9)$
    $\equiv 2^n -4^n \quad \text { (mod 9) \quad (Do $n$ chẵn).}$
    $ \equiv 2^n(1-2^n) \quad \mod 9) Vì $ (2;9 ) = 1 \Rightarrow 2^n – 1  \vdots \ 9$.
    Xét $ n= 3k $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k} – 1 \equiv (-1)^k – 1 \quad (\mod 9) \Rightarrow k$ chẵn.

    • Xét $ n= 3k + 1 $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k + 1} – 1 \equiv 2\cdot(-1)^k – 1 \quad \text { (mod 9) \quad (loại)}. $
    • Xét $ n= 3k + 2 $ với $ k \in \mathbb{N} $. Ta có $ A_n \equiv 2^{3k + 2} – 1 \equiv 4\cdot(-1)^k – 1 \quad \text { (mod 9) \quad (loại)}. $
  • Vậy $ A_n \ \vdots \ 45 \Leftrightarrow n \ \vdots \ 12. $

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
a) $5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}$ chia hết cho $23$;
b) $11^{n+2}+12^{2n+1}$ chia hết cho $133$;
c)  $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}$ chia hết cho $59$;
d)  $5^{2n+1}.2^{n+2}+3^{n+2}.2^{2n+1}$ chia hết cho $38$.

Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho:
a) $2^{3n+4}+3^{2n+1}$ chia hết cho 19
b) $n.2^n+ 1$ chia hết cho 3
c) $2^2n+2^n+1$ chia hết cho 21
d)  $1^n+ 2^n+ 3^n+ 4^n$ chia hết cho 5

Bài 3. Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
a)  $2^{2^{2n}}+10$ chia hết cho $13$;
b) $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5$ chia hết cho $22$.

Bài 4. (PTNK) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho:
a) $n.2^n+3^n$ chia hết cho $5$;
b) $n.2^n+3^n$ chia hết cho $25$.

Phương pháp chứng minh chia hết

Leave a reply

 

Bài toán chia hết là bài toán quan trọng trong các bài toán số học sơ cấp, trong chương trình trung học cơ sở các bài toán liên quan đến chia hết xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi vào 10. Trong loạt bài viết này, tôi xin trình bày những phương pháp chứng minh chia hết, giúp các em ôn tập tốt hơn trong kì thi vào 10.

Phương pháp 1. Biến đổi thành tích.

Để chứng minh $A$ chia hết cho $B$, ta có thể làm như sau:

  • Biến đổi $B = C \cdot D$ với $(C, D)=1$ và chứng minh $A$ chia hết cho $C$ và $D$.
  • Biến đổi $A = M \cdot N$ và $B = C \cdot D$, trong đó $M$ chia hết cho $C$ và $N$ chia hết cho $D$.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng

a) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.

Lời giải

a) Gọi hai số chẵn liên tiếp là $2n, 2n+2$.

Ta có $2n(2n+2) = 4n(n+1)$. Do $n,n+1$ là hai số liên tiếp nên chắc chắn có một số chẵn, suy ra $n(n+1)$ chia hết cho 2, mà $4$ chia hết cho 4. Suy ra $4n(n+1)$ chia hết cho 8.

Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp là $A = n(n+1)(n+2)(n+3)$, ta chứng minh $A$ chia hết cho 24. Ta có $24 = 3 \times 8$ với $(3,8)=1$, nên ta cần chứng minh $A$ chia hết cho 3 và 8.

Nếu $n$ lẻ thì $n+1, n+3$ là hai số chẵn liên tiếp tích chia hết cho 8, suy ra $A$ chia hết cho 8.

Nếu $n$ chẵn thì $n, n+2$ là hai số chẵn liên tiếp, tích chia hết cho 8, suy ra $A$ chia hết cho 8.

Trong ba số  liên tiếp $n, n+1, n+2$ có ít nhất một số chia hết cho 3 nên $A$ chia hết cho 3.

$A$ chia hết cho 3, 8 và $(3,8)=1$, do đó $A$ chia hết cho 24.

Ví dụ 2.  Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ lẻ thì $m^3 + 3m^2 – m – 3$ chia hết cho $48$.

Lời giải

Đặt $A = m^3+3m^2-m-3$, ta có $A = (m+3)(m^2-1)$.

Do $m$ lẻ nên $m = 2n + 1$, $n$ là số tự nhiên. Khi đó $A = (2n+4)((2n+1)^2-1) = 8n(n+1)(n+2)$.

Ta có $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, do đó chia hết cho 6.

Vậy $A$ chia hết cho 48.

Ví dụ 3.  Cho $n$ là số tự nhiên thỏa $n = \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{y^2-1}{3}$ với $x, y$ là các số nguyên.
a) Chứng minh $n = y^2 – x^2$.
b) Chứng minh $n$ chia hết cho 20.

Lời giải

a) $n = \dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{y^2-1}{3} = \dfrac{y^2-1-(x^2-1)}{3-2} = y^2-x^2$.

b) Ta chứng minh $n$ chia hết cho 4 và 5.

Ta có $n = \dfrac{x^2-1}{2}$, suy ra $x$ lẻ, $x = 2k+1$, khi đó $n = \dfrac{(2k+1)^2-1}{2} = 2k(k+1)$ chia hết cho 4.

Ta có $n = \dfrac{x^2+y^2-2}{5}$, suy ra $x^2+ y^2$ chia 5 dư 2. (1)

Mà $x^2, y^2 \equiv 0, 1, 4 (\mod 5)$.

Do đó (1) chỉ xảy ra khi $x^2 \equiv y^2 equiv 1 (\mod 5)$, suy ra $n=x^2 – y^2$ chia hết cho 5.

Vậy $n$ chia hết cho 20.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho $8$.
Bài 2. Chứng minh rằng nếu $n$ là số chẵn thì $n^2 + 2n$ chia hết cho $8$.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu $n$ là số lẻ thì $n^2 – 1$ chia hết cho $8$.
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n$ chia hết cho $24$.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu $n$ không chia hết cho $3$ thì $n^2 – 1$ chia hết cho $3$.
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^5 – n$ chia hết cho $30$.
Bài 7. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lẻ lớn hơn $3$ thì $p^2 – 1$ chia hết cho $24$.
Bài 8. Chứng minhg rằng với mọi số tự nhiên $n$ lẻ thì $n^{12} – n^8-n^4+1$ chia hết cho $512$.
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số $n$ chẵn thì $n^4-4n^3-4n^2+16n$ chia hết cho $384$.
Bài 10. Cho $12$ số tự nhiên có tổng chia hết cho $6$.

Chứng minh rằng tổng lập phương của $12$ số đó cũng chia hết cho $6$.