Định lý. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$.
- Nếu $d > R$, thì $a$ và $(O)$ không có điểm chung, ta nói $a$ ngoài $(O)$.
- Nếu $d = R$, thì $a$ và $(O)$ có 1 điểm chung, ta nói $a$ là tiếp tuyến của $(O)$. Điểm chung của $a$ và $(O)$ được gọi là tiếp điểm.
- Nếu $d < R$, thì $a$ và $(O)$ có 2 điểm chung, ta nói $a$ cắt $(O)$.
Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O;6cm)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 10cm$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(O)$ tại $B, C$, với $B$ nằm gần $A$ hơn, biết khoảng cách từ $O$ đến $BC$ bằng $3cm$.
a. Tính $BC$.
b. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$. Tính $AD$ lấy 2 chữ số thập phân.
a. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó ta có $OM \bot BC$.
Tam giác $OMC$ vuông tại $M$ nên:
- $OM^2 + MC^2 = OC^2$
- $MC^2 = OC^2 – OM^2$
- $MC^2 = 6^2 – 3^2 $
- $MC^2 = 27$
- $MC = 3\sqrt{3}$
- $BC = 2MC = 6\sqrt{3}$.
b.
- Tam giác $BCD$ có $OM$ là đường trung bình nên $DM = 2OM = 6$.
- $CD$ là đường kính nên $\angle BDC = 90^\circ$.
- Tam giác $OAM$ vuông tại $M$ nên $AM^2 = OA^2 – OM^2 = 100-9 = 91$, $AM = \sqrt{91}$
- Suy ra $AB = AM – BM = \sqrt{91} – 3\sqrt{3} \approx 4.34$.
- Tam giác $ABD$ vuông tại $B$ nên $AD = \sqrt{AB^2+BD^2} \approx 7.41$.
Ví dụ 2. Cho đường tròn $(A;3cm)$ và điểm $B$ thuộc $(O)$. Trên tiếp tuyến tại $B$ của $(A)$ lấy $C$ sao cho $BC = 4cm$. Vẽ $BE \bot AC$ với $E$ thuộc $AC$
a. Tính $AC, BE$.
b. Trên tia đối tia $EB$ lấy $F$ sao cho $EF = 4cm$. Tính $CF$.
c. Xét vị trí tương đối của $CF$ và $(A)$.
a. Ta có $BC$ là tiếp tuyến nên $AB \bot BC$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:
- $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2$
- $AC^2 = 25$
- $AC = 5 cm$.
Ta có
- $BE.AC = AB.BC$
- $BE.5 = 3.4$
- $BE = 2.4 cm$.
b. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BE$ nên
- $CE.CA = CB^2$
- $CE.5 = 4^2$
- $CE = 3.2 cm$.
- Tam giác $CEF$ vuông tại $E$ nên $CF^2 = CE^2 + EF^2 = 3.2^2 + 4^2 = 26.24$, suy ra $CF \approx 5.12$.
c. Vẽ $AG \bot CF$.
- Ta có $CF.AG = FE.OC$
- $OG =\dfrac{FE.OC}{CF} = \dfrac{4.5}{5.12} \approx = 3.9cm$
- Ta có $OG > 3$ nên $CF$ nằm ngoài đường tròn $(A;3cm)$.