I. Lý thuyết
- Hàm số lượng giác $y=\sin x$ và $y=\cos x$
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\sin $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số sin và ký hiệu $y=\sin x.$
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\cos $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số cos và ký hiệu $y=\cos x.$
- Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tan và ký hiệu là $y=\tan x$.
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtan và ký hiệu là $y=\cot x$.
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y=\sin 2x+\dfrac{1}{\cos x}$
b) $y=\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$
c) $y=3\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right)$
d) $y=\tan x+\cot x$
Đáp số
| a) Hàm số được xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Vậy tập xác định của hàm số là:
$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$ |
b) Hàm số được xác định khi $\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \ge 0 (1).$ Vì $1+\sin x \ge 0, \forall x$ nên:
$(1) \Leftrightarrow 1 -\sin x >0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1$
$\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$
Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$ |
| c) Hàm số được xác định khi $x + \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$
Vậy tập xác định của hàm số là:
$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$ |
d) $\tan x$ xác định khi $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \cot x$ xác định khi $x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}$.
Do đó $y= \tan x+\cot x$ xác định khi $x \ne k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$ |
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số sau:
a) $y=-4\cos 2x$
b) $y=\sin^3 4x-3\sin x$
c) $y=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$
d) $y=3\sin x+2\cos x-1$
Đáp số
a) Hàm số $y=f(x)=-4\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x)=-4\cos (-2x)=-4\cos 2x=f(x).$
Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.
b) Hàm số $y=f(x)=\sin^3 4x-3\sin x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(x-)=\sin^3 (-4x)-3\sin (-x) = -sin^3 4x+3\sin x=-f(x).$ Vậy hàm số là hàm số lẻ.
c) Hàm số $y=f(x)=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x \ne 0$ và $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi}{2}.$ Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$
Với mọi $x \in D \Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \in D.$
Ta có: $f(-x)=\dfrac{\tan (-x)+\cot (-x)}{\sin (-x)}=\dfrac{-\tan x-\cot x}{-\sin x}=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}=f(x)$.
Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.
d) Hàm số $y=f(x)=3\sin x + 2\cos x -1$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-4, f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)=2 \Rightarrow f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \ne \pm f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)$
Do đó, hàm số không chẵn, không lẻ.
3. Hàm số tuần hoàn
- Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $\mathbb{D}$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{D}$ ta có $x \pm T \in \mathbb{D} \ \text{và} \ f(x+T)=f(x).$
- Nếu có số dương T nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
- Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
- Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $T= \pi$.
- Ta chứng minh được hàm số $y=A \sin (ax+b)+B$ tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{2 \pi}{|a|}.$
- Nếu hàm số $y=f(x)$ có chu kì $T_1$, hàm số $y=g(x)$ có chu kì $T_2$ thì hàm số $y=f(x) \pm g(x)$ có chu kì là BCNN của $T_1$ và $T_2$.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì là $\pi$.
Đáp số
Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$\forall x \in D$, ta có: $x \pm \pi \in D;$
$f(x+\pi)=\cos 2(x+\pi)=\cos (2x+2\pi)=\cos 2x =f(x).$
Vậy hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn.
Ta chứng minh chu kì của hàm số bằng $\pi$.
Giả sử có số T thỏa mãn $0<T<\pi$ và $\cos 2(x+T)=\cos 2x (*), \forall x$.
Cho $x=0$ khi đó đẳng thức (*) trở thành:
$\cos 2T=\cos 0 \Leftrightarrow \cos 2T=1 \Leftrightarrow T=k\pi.$
Vì $0<T<\pi$ nên hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$.
II. Bài tập
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\dfrac{3+\sin x}{\cos x}$
b) $y=\tan \left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$
c) $y=\sqrt{1+2\tan^2 x}+\dfrac{3}{\sin x}$
d) $y=\sin\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$
Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $y=3\sin (x+\pi)+\tan 3x$
b) $y=2\sin^2 x+\cot x -2$
c) $y=\cos^3 x+\dfrac{\tan 3x}{\sin x}$
d) $y=\dfrac{\cos x}{2\sin x-1}$
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) $y=1-3\sin 5x$
b) $y=\sqrt{4-\cos^2 3x}+1$
c) $y=2\sin^2 x+5\cos 2x-4\cos^2 x$
d) $y=\sin^2 x-2\sin x -3$