Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\sin $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số sin và ký hiệu $y=\sin x.$
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\cos $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số cos và ký hiệu $y=\cos x.$
Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tan và ký hiệu là $y=\tan x$.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtan và ký hiệu là $y=\cot x$.
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y=\sin 2x+\dfrac{1}{\cos x}$
b) $y=\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$
c) $y=3\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right)$
d) $y=\tan x+\cot x$
Đáp số
a) Hàm số được xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Vậy tập xác định của hàm số là:
$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$
b) Hàm số được xác định khi $\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \ge 0 (1).$ Vì $1+\sin x \ge 0, \forall x$ nên:
$(1) \Leftrightarrow 1 -\sin x >0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1$
$\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$
Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$
c) Hàm số được xác định khi $x + \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$
Vậy tập xác định của hàm số là:
$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$
d) $\tan x$ xác định khi $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \cot x$ xác định khi $x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}$.
Do đó $y= \tan x+\cot x$ xác định khi $x \ne k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số sau:
a) $y=-4\cos 2x$
b) $y=\sin^3 4x-3\sin x$
c) $y=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$
d) $y=3\sin x+2\cos x-1$
Đáp số
a) Hàm số $y=f(x)=-4\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x)=-4\cos (-2x)=-4\cos 2x=f(x).$
Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.
b) Hàm số $y=f(x)=\sin^3 4x-3\sin x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(x-)=\sin^3 (-4x)-3\sin (-x) = -sin^3 4x+3\sin x=-f(x).$ Vậy hàm số là hàm số lẻ.
c) Hàm số $y=f(x)=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x \ne 0$ và $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi}{2}.$ Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$
Với mọi $x \in D \Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \in D.$
Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $\mathbb{D}$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{D}$ ta có $x \pm T \in \mathbb{D} \ \text{và} \ f(x+T)=f(x).$
Nếu có số dương T nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $T= \pi$.
Ta chứng minh được hàm số $y=A \sin (ax+b)+B$ tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{2 \pi}{|a|}.$
Nếu hàm số $y=f(x)$ có chu kì $T_1$, hàm số $y=g(x)$ có chu kì $T_2$ thì hàm số $y=f(x) \pm g(x)$ có chu kì là BCNN của $T_1$ và $T_2$.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì là $\pi$.
Đáp số
Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
