1. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ $\left( a\ne 0\right) $
a) Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$
Đường thẳng $y=ax+b$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A$ và đi qua điểm $T$ có tung độ dương.
Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tạo bởi hai tia $AT$ và $Ax$.
b) Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$
Khi $a>0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$ là góc nhọn. Nếu hệ sô $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $90^\circ $.
Khi $a<0$, góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$ là góc tù. Nếu hệ số $a$ càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $180^\circ$.
Hai đường thẳng $y=a_1x+b_1$ và $y=a_2x+b_2$ có $a_1=a_2$ thì cùng tạo với trục $Ox$ hai góc bằng nhau.
Góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với $Ox$ phụ thuộc vào $a$.
Ta gọi $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$.
Ngoài ra ta có công thức sau: $a=tan\alpha$ (với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ với trục $Ox$).
Ví dụ 1: Xác định và tính góc tạo bởi đường thẳng $d: y=x+2$ với trục $Ox$.
Đường thẳng $d: y=x+2$ cắt trục $Ox$ tại điểm
$A\left(-2;0\right) $. Chọn điểm $T\left( 0;2\right) $ thuộc đường thẳng $d$ có tung độ $2$ lớn hơn $0$. Vậy góc tạo bởi đường thẳng $d$ với trục $Ox$ là góc $\angle OAT$.
Hệ số góc của $d$ là $a=1$ nên $tan\angle OAT=1\Rightarrow \angle OAT=45^\circ $.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;-1\right) $ và có hệ số góc bằng $-2$.
Ví dụ 3: Dựng một cái thang lên tường với độ cao $3$ $m$, thì khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu là bao nhiêu $m$ để đảm bảo an toàn? Biết rằng để có sự an toàn thì hệ số góc của thang tối đa là $5$. Gọi $x$ là khoảng cách từ chân thang tới chân tường. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, ta có $A\left( -x;0\right) $ là giao điểm của đường thẳng (cái thang) với trục $Ox$ và $T\left( 0;3\right) $ là điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương. Do đó góc tạo bởi đường thẳng với trục $Ox$ là $\angle OAT$. Ta có: $a=tan\angle OAT=\dfrac{OT}{OA}=\dfrac{3}{x}$ Để đảm bảo an toàn thì $a\le 5$ nên $\dfrac{3}{x} \le 5\Leftrightarrow x\ge \dfrac{3}{5}$. Vậy khoảng cách $x$ tối thiểu là $x=0,6$ $m$. Bài tập: Bài 1: Cho đường thẳng $d_1: y=2x+3m+1$ và $d_2: y=\left( m+1\right) x-4$. a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$. b) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau. c) Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng tung độ. Bài 2: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right) x+1$ có đồ thị $d$. a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Tìm $m$ để $d$ đi qua điểm $A\left( 1;4\right) $. c) Tìm $m$ để $d$ có hệ số góc là $4$. d) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $M$, $N$ sao cho diện tích tam giác $OMN$ bằng $\dfrac{1}{2}$. Bài 3: Cho đường thẳng $d$ là đồ thị của hàm số $y=\left( m-1\right) x+4$. a) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. b) Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua một điểm cố định. c) Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$, $Oy$ tại $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $8$. d) Biết $d$ trùng $d_1: y=\left( 2m^2-7\right) x-2m+1$. Tìm hệ số góc của $d_1$. Bài 4: Cho hai đường thẳng phân biệt $d_1: y=\left( 2-m^2\right) x+m-5$ và $d_2: y=mx+3m-7$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ có hệ số góc bằng nhau. Bài 5: Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau $1$ $km$ trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi dọc theo đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $a_1=0,62$ và $a_2=0,84$.