Tag Archives: PhanTichDaThucThanhNhanTu

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp thêm bớt (tách) hạng tử

  1. Phương pháp tách hạng tử

Cách thực hiện: Với tam thức bậc hai: $ ax^2 + bx + c. $

  • Xét tích: $ a\cdot c $.
  • Phân tích $ a\cdot c $ thành tích của hai số nguyên.
  • Xét xem tích nào có tổng của chúng bằng $ b $, thì ta tách $ b $ thành 2 số đó, cụ thể như sau:
    $ b_1+b_2 = b$ và $ a \cdot c = b_1 \cdot b_2. $

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)  $ x^2 -7x +12. $
b)  $ x^2 – 5x -14. $
c) $ 4x^2 – 3x -1. $

Giải

a)  $ x^2 -7x +12=x^2-3x-4x+12$

$= (x^2-3x)-(4x-12)=x(x-3)-4(x-3)$

$=(x-3)(x-4).$
b)  $ x^2 – 5x -14=x^2-7x+2x-14$

$=(x^2-7x)+(2x-14)=x(x-7)+2(x-7)$

$=(x+2)(x-7) $
c) $ 4x^2 – 3x -1=4x^2-4x+x-1$

$=(4x^2-4x)+(x-1)=4x(x-1)+(x-1)$

$=(x-1)(4x+1). $

Với dạng $ax^2+bxy+cy^2$ ta cũng làm tương tự.

Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $3x^2+10xy+3y^2$

b) $2x^2-9xy + 9y^2$.

Giải

a) $3x^2 + 10xy + 3y^2 = 3x^2 + xy + 9xy+3y^2$

$= x(3x+y) + 3y(3x+y)$

$=(3x+y)(x+3y)$.

b) $2x^2-9xy+9y^2 = 2x^2-3xy -6xy + 9y^2$

$=x(2x-3y) – 3y(2x-3y)$

$=(2x-3y)(x-3y)$.

2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Một số trường hợp ta thêm bớt để được hằng đẳng thức $(a+b)^2$ hoặc $a^3-b^3$.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) $ x^4 +4$
b)  $ 64x^4 +1. $
c)  $ 81x^4 +4. $

Giải

a) Phân tích: Ta thấy $x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2^2$, để có hằng đẳng thức ta thêm bớt hạng tử $2.2x^2 = 4x^2$, khi đó ta có biến đổi sau:

$ x^4 +4=x^4+4x^2+4-4x^2$

$=(x^4+4x^2+4)-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2$

$=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x) $

Tương tự ta có thể làm cho các bài sau.
b)  $ 64x^4 +1=64x^4+16x^2+1-16x^2$

$=(8x^2+1)^2-(4x)^2$

$=(8x^2+1-4x)(8x^2+1+4x) $
c)  $ 81x^4 +4=81x^4+36x^2+4-36x^2$

$=(81x^4+36x^2+4)-36x^2$

$=(9x^2+2-6x)(9x^2+2+6x) $

 

Ví dụ 2. Phân tích đa thức $ x^5 + x +1 $ thành nhân tử

Giải

$ x^5 + x +1=x^5+x^4-x^4+x^3-x^3+x^2-x^2+x+1$

$=(x^5+x^4+x^3)-(x^4+x^3+x^2)+(x^2+x+1)$

$=x^3(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$

$=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1).$

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2+4x+3$
b) $x^2+6x+5$
c) $2x^2+5x+2$
Bài 2.  Phân tích đa thức sau thành phân tử

a) $ x^2 – 3x + 2 .$
b) $ x^2 + 5x + 6. $
c)   $ x^4 +4. $

Bài 3. Phân tích thành nhân tử

a) $2x^2+7x^2+5y^2$

b) $x^2-4xy-5y^2$.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a)  $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x+ 1$
b)  $ x^3 + x^2 – x+ 2$
c) $ x^5 – x^2 + x^3 – 1$
d)   $x^5 + x^4+ 1$