Phương trình vô tỉ (phương trình chứa căn thức) là một trong những nội dung quan trọng nhất của đại số 9, xuất hiện trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như đề thi tuyển sinh. Kĩ năng giải phương trình cũng là một trong kĩ năng quan trọng của học sinh chuyên toán. Có rất nhiều dạng phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau cho phương trình vô tỉ, tựu chung lại cũng là phương pháp hữu tỉ hóa các phương trình, tức là đưa về phương trình dạng đa thức đã biết cách giải ở lớp 8.Trong chương này đưa ra một vài dạng phương trình vô tỉ cùng với đó là các phương pháp cơ bản nhất, không đi sâu quá nhiều vào các kĩ thuật và các dạng khó.
1. Lý thuyết
Nếu $A(x)$, $B(x)$ là các biểu thức chứa $x$, khi đó ta có các phương trình dạng $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ và $\sqrt{A}=B$ là các phương trình vô tỉ cơ bản nhất, được giải bởi các tính chất sau.
- Tính chất 1. $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ A = B\end{array} \right.$
- Tính chất 2. $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\ A = B^2\end{array}\right.$
2. Phương pháp lũy thừa
Phương pháp lũy thừa là phương pháp tự nhiên nhất và kinh điển nhất để giải phương trình vô tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản hoặc đưa về phương trình hữu tỉ, việc lũy thừa đòi hỏi sự khéo léo để không làm cho bậc của biểu thức quá cao, và trong quá trình lũy thừa ta chú ý là tạo ra phương trình mới tương đương phương trình đã cho hay chỉ là hệ quả của phương trình đã cho, nếu là hệ quả thì phải có bước thử lại nghiệm.
Chú ý: $A = B \Leftrightarrow A^2 = B^2$ đúng khi và chỉ khi $A, B$ cùng dấu.
Còn $A = B\ (1) \Rightarrow A^2 = B^2\ (2)$ thì phương trình $(2)$ là phương trình hệ quả của phương trình $(1)$.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$
b) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2} = \sqrt{3x}$
Giải
a) Ta có $ \sqrt{-x^2+4x-3} =2x-5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-5 \ge 0\\ -x^2+4x-3=(2x-5)^2 \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2}\\ 5x^2-24x+28=0 \end{array}\right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{5}{2} \\ x=2 \ \text{hoặc} \ x=\dfrac{14}{5} \end{array}\right. $ $\Leftrightarrow x=\dfrac{14}{5}$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{14}{5}$.
b) Điều kiện $x \geq 2$. Phương trình tương đương với
$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2 = 3x$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-x-2} = x + 1$
$\Leftrightarrow 4(x^2-x-2) = x^2+2x+1$
$\Leftrightarrow 3x^2 – 6x – 9 = 0 $
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 3\ \text{ (nhận) }\\ x=-1 \ \text{ (loại) } \end{array}\right.$
Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.
Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}.$
Giải
- Ta có $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2x-x^2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2x-x^2 \ge 0\\ 7-x^2+x\sqrt{x+5}=3-2x-x^2 \ (2)\end{array}\right. $
- $(2) \Leftrightarrow x\sqrt{x+5} = -2x -4$
Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của $(2)$. Ta xét $x\ne 0$, khi đó phương trình tương đương
$\sqrt{x+5} = -\dfrac{2x+4}{x}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{2x+4}{x} \ge 0\\ x+5 = \dfrac{(2x+4)^2}{x^2} \ (3) \end{array}\right. $
- $(3) \Leftrightarrow x^2(x+5) = (2x+4)^2$
$\Leftrightarrow x^3 +x^2 -16x -16 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=4 \ \text{ (loại) }\\ x=-1\ \text{ (nhận) }\\ x=-4 \ \text{ (loại) } \end{array}\right. $
- Vậy phương trình có nghiệm $x = -1$.
Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$.
Giải
- Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x \ge -1\\ \sqrt{x+1}-1 \ge 0\\ x-\sqrt{x+8} \ge 0 \end{array}\right. (*)$.
- Khi đó phương trình tương đương:
$\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$
$\Leftrightarrow x+1=1+x-\sqrt{x+8}+2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+8}=2\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$
$\Leftrightarrow x+8=4(x-\sqrt{x+8})$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+8}=3x-8$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3} \\ 16(x+8)=(3x-8)^2 \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{8}{3}\\ 9x^2-64x-64=0 \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow x=8.$
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8.$
Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}.$
Giải
- Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x(x-1) \ge 0\\ x(x+2) \ge 0\\ x \ge 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow x=0 \ \text{ hoặc } \ x \ge 1.$
- Dễ thấy $x=0$ là một nghiệm của phương trình.
- Xét $x \ge 1.$ Khi đó phương trình tương đương
- $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow x-1+x+2+2\sqrt{(x-1)(x+2)}=4x$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(x+2)}=x-\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x^2+x-2=x^2-x+\dfrac{1}{4} \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{9}{8} \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{8}$
- Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9}{8}$ hoặc $x=0$.
Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}$.
Giải
- Điều kiện $x \ge 1.$
- Khi đó phương trình tương đương
$\sqrt{(\sqrt{x-1})^2+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{x+3}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=\dfrac{x+3}{2}$
$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\dfrac{x+3}{2}$
- Với $1 \le x \le 2$ thì phương trình tương đương
$\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2} \Leftrightarrow x=1.$
- Với $x>2$ thì phương trình tương đương
$\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+3}{2}$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x-1}=x+3$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -3\\ 16x-16=x^2+6x+9 \end{array}\right. \Leftrightarrow x=5.$
- Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ hoặc $x=5$.
Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$.
Giải
- Điều kiện $\begin{cases} x+3 \ge 0&\\ 3x+1 \ge 0&\\ x \ge 0&\\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 0.$
Phương trình trở thành
$\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+2}=\sqrt{4x}-\sqrt{x+3}$
$\Rightarrow 3x+1+2x+2-2\sqrt{(3x+1)(2x+2)}=4x+x+3-2\sqrt{4x(x+3)}$
$\Rightarrow \sqrt{(3x+1)(2x+2)}=\sqrt{4x(x+3)}$
$\Rightarrow 6x^2+8x+2=4x^2+12x$
$\Rightarrow x=1.$
- Thử lại ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$
- Chú ý: Trong ví dụ trên, ta dùng dấu “$\Rightarrow$” thay cho “$\Leftrightarrow$”, tức là phương trình sau chỉ là hệ quả của phương trình trước chứ không phải là tương đương. Do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu để nhận hay loại nghiệm.
Ví dụ 7: Giải phương trình $\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$.
Giải
- Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Ta được
$ \sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11}$
$\Leftrightarrow 2x+11+3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}(\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6})=2x+11$
$\Rightarrow 3\sqrt[3]{x+5}.\sqrt[3]{x+6}.\sqrt[3]{2x+11}=0$
$\Leftrightarrow x=-6 \ \text{hoặc} -5 \ \text{hoặc} \ x=-\dfrac{11}{2}.$
- Thử lại ta thấy tất cả đều là nghiệm của phương trình.
- Vậy phương trình có ba nghiệm $x=-6$ hoặc $x=-5$ hoặc $x=-\dfrac{11}{2}.$
3. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau;
a) $\sqrt{x^2+3x+4}-3x=1$
b) $1+\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}$
c) $\sqrt{-x^2+4x-3}=2x-5$
d) $x-\sqrt{4-x^2}=0$
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+2}=1$
b) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-4}$
c) $x^2-2x+4(x-3) \sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}=0$.
d) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+2+4\sqrt{x-2}}+3=0$
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) $\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$
b) $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x}=1$
c) $\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}$
d) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
Bài 4. Giải các phương trình sau
a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$
b) $\sqrt[3]{2x-5}+\sqrt[3]{3x+7}=\sqrt[3]{5x+2}$
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{x^2 – 3x + 4} + 1 – x – \sqrt{3 – x}=0$
b) $\sqrt{x^2+3x+4}+1+x-\sqrt{3+x}=0$
c) $\sqrt{x^2-3x+3}+1-x-\sqrt{2-x}=0$
d) $\sqrt{4x^2-10x+7}+2-2x-\sqrt{3-2x}=0$
