Tag Archives: TiSoLuongGiac

Tỉ số lượng giác – P3

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, BC= 5$.
Tính $\sin ABC, \cos ABC, \tan ABC, \cot ABC$.
Lời giải.
Ta có $AC = \sqrt{BC^2-AB^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$.
Khi đó $\sin ABC = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5}$
Và $\cos ABC = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$;
$\tan ABC = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$;
$\cot ABC = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4}$.

Bài 2. 
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = 10, BC = 12$.
a) Tính $\sin ABC$.
b) Vẽ đường cao $BK$. Tính $BK$ và $\sin BAC$.

Lời giải.
a) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, ta có $AM \bot BC$.
$MB = \dfrac{1}{2}BC = 6$, suy ra $AM = \sqrt{AB^2-BM^2} = 8$.
$\sin ABC = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$.
b)
Vẽ đường cao $BK$.
Ta có $\triangle CKB \backsim \triangle CMA$, suy ra $\dfrac{BK}{AM} = \dfrac{CB}{AC} \Rightarrow BK = \dfrac{AM\cdot BC}{AC} = \dfrac{48}{5}$.
Khi đó $\sin BAC = \dfrac{BK}{AB} =\dfrac{48}{50} = \dfrac{24}{25}$.

Bài 3. 
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 2, \sin ABC = \dfrac{1}{3}$. Tính $AB$.
Lời giải.
Ta có $\sin ABC = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{1}{3}$, suy ra $BC = 3AC = 6$.\
Từ đó $AB = \sqrt{BC^2-AC^2} =\sqrt{6^2-2^2} =4\sqrt{2}$.
\end{multicols}

Bài 4. 
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 1, AC = \sqrt{3}, BC = 2$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.

Lời giải.

Ta có $AB^2 +AC^2 = 1 +3 = 4 = BC^2$, suy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vậy $\angle BAC = 90^\circ$.\
Ta có $\sin ABC = \dfrac{AC}{BC}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\angle ABC = 60^\circ$.\
Và $\angle ACB = 180^\circ – \angle BAC – \angle ABC = 30^\circ$.

Bài 5. 
Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC = 60^\circ, \angle ACB = 45^\circ$, đường cao $AH = \sqrt{3}$.

a)Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.
b) Dựng đường cao $BK$. Tính $BK$ và $\sin BAC$.

Lời giải. 
a)  $AB .\sin ABC = AH \Leftrightarrow AB \sin 60^\circ = \sqrt{3} \Leftrightarrow AB \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, suy ra $AB = 2$.
Tam giác $AHC$ vuông cân, suy ra $AC = \sqrt{2}AH = \sqrt{6}$.
$BH = \sqrt{AB^2-AH^2} = 1, CH = AH = \sqrt{3}$.
Suy ra $BC = 1 + \sqrt{3}$.
b) a có $BK = BC\cdot \sin BCK = (1+\sqrt{3})\sin 45^\circ = \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $\sin BAC = \dfrac{BK}{AB} = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Bài 6. Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB = 5$, biết $\cot ABD = \dfrac{3}{4}$.

a) Tính $\dfrac{{AC}}{{BD}}$;
b) Tính $AC, BD$.

Lời giải.

a) $\tan ABD=\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{4}{3} \Rightarrow AO=\dfrac{4}{3}BO$.
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $AOB$:$AO^2+BO^2=AB^2=5^2=25$.
Khi đó ta có hệ: $AO=\dfrac{4}{3}BO; AO^2+BO^2=25$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AO=\dfrac{4}{3}BO\\
\left( \dfrac{4}{3}BO\right)^2+BO^2=25\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AO=\dfrac{4}{3}BO\\
BO^2=9
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AO=4\\
BO=3
\end{array} \right.$
Vậy $\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{2AO}{2BO}=\dfrac{4}{3}$
b) $AC=2AO=2\cdot 4=8 \quad \text{và} \quad BD=2BO=2\cdot 3=6$.

Bài 7. Cho hình thang $ABCD$ cân có $AB$ là đáy nhỏ và $\angle ADC = 60^\circ$. Đặt $AD = a, AB = b$. Vẽ đường cao $AH$.

a) Tính $AH, DH$ theo $a$.
b) Tìm $a, b$ biết chu vi hình thang bằng 10 và diện tích bằng $3\sqrt 3 $.

Lời giải.

a) $\cos\angle ADH=\dfrac{DH}{AD} \Rightarrow DH=AD.\cos\angle ADH =a.\cos60^\circ=\dfrac{a}{2}$
$\sin \angle ADH=\dfrac{AH}{AD} \Rightarrow AH=AD.\sin \angle ADH=a.\sin 60^\circ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
b) Kẻ dường cao $BE$
Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD=BC=a$. $ABEH$ là hình chữ nhật nên $AB=EH=b$
Tính tương tự câu a) ta có $BE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $EC=\dfrac{a}{2}$
Khi đó $DC=DH+HE+EC=a+b$
Dựa vào chu vi và diện tích hình thang ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
b+a+\left(a+b\right)+a=10\\
\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\left(b+a+b\right)=3\sqrt{3}
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
3a+2b=10\\
a\left( a+2b \right)=12
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2b=10-3a\\
a\left( a+10-3a \right)=12
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2b=10-3a\\
-2a^2+10a-12=0
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2b=10-3a\\
a=2 \quad \text{hay} \quad a=3
\end{array} \right.$
Vậy $(a;b)$ là $(2;2)$ và $(3; \dfrac{1}{2})$.

 

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Leave a reply

Để định nghĩa tỉ số của một góc nhọn $\alpha$ ta xét tam giác vuông $ABC$ tại $A$, trong đó $\angle ABC = \alpha$, khi đó $AB$ là cạnh kề $\alpha$, $AC$ là cạnh đối, và $BC$ là cạnh huyền. Ta định nghĩa các tỉ số lượng giác của $\alpha$ như sau:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
  •  $\sin \alpha = \dfrac{đối}{huyền}=\dfrac{đ}{h}$
  • $\cos \alpha = \dfrac{kề}{huyền}=\dfrac{k}{h}$
  • $\tan \alpha = \dfrac{đối}{kề} = \dfrac{đ}{k}$
  • $\cot \alpha = \dfrac{kề}{đối} = \dfrac{k}{đ}$
  Tính chất
  • $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
  • $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$.
  • $0 < \sin \alpha < 1, 0 < \cos \alpha < 1$.

Bảng Tỉ số lượng giác của một số góc thường gặp

Ta sử dụng Tỉ số lượng giác của góc nhọn để dùng trong các nội dung sau:

  • Trong một tam giác vuông, nếu ta biết số đo một góc nhọn và độ dài một cạnh thì ta có thể tính được độ dài các cạnh còn lại. Nếu biết độ dài 2 cạnh ta có thể tính được số đo của các góc nhọn.
  • Dùng để tính toán, đo đạc độ dài, tính số đo góc
  • Dùng thiết lập các đẳng thức, bất đẳng thức hình học
  • Ứng dụng thực tế là đo chiều cao, chiều dài, …một số đối tượng thực tế.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, AC = 4$. Tính $\sin \angle B, \cos B, \tan \angle B$.

Gợi ý

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, suy ra $BC = 5$.

Khi đó $\sin \angle B = \dfrac{d}{h} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5}$.

$\cos \angle B = \dfrac{k}{h} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$.

$\tan \angle B = \dfrac{đ}{k} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $A B=10, B C=12$.
a) Tính $\sin A B C$.
b) Vẽ đường cao $B K$. Tính $B K$ và $\sin B A C$.

 

Gợi ý

a) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C$, ta có $A M \perp B C$.
$M B=\frac{1}{2} B C=6$, suy ra $A M=$ $\sqrt{A B^2-B M^2}=8$.
$$
\sin A B C=\frac{A M}{A B}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \text {. }
$$
b) Vẽ đường cao $B K$.
Ta có $\triangle C K B \backsim \triangle C M A$, suy ra $\frac{B K}{A M}=$ $\frac{C B}{A C} \Rightarrow B K=\frac{A M \cdot B C}{A C}=\frac{48}{5}$.
Khi đó $\sin B A C=\frac{B K}{A B}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C=2, \sin A B C=\frac{1}{3}$. Tính $A B$.

Gợi ý

Ta có 
$$
\sin A B C=\frac{A C}{B C}=\frac{1}{3} \text {, suy ra } B C=3 A C=6 .
$$

Từ đó $A B=\sqrt{B C^2-A C^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4 \sqrt{2}$.

Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$ có $A B=1, A C=\sqrt{3}, B C=2$. Tính số đo các góc của tam giác $A B C$.

Gợi ý

Ta có $A B^2+A C^2=1+3=4=B C^2$, suy tam giác $A B C$ vuông tại $A$, vậy $\angle B A C=90^{\circ}$.
Ta có $\sin A B C=\frac{A C}{B C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\angle A B C=$ $60^{\circ}$.
Và $\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C-\angle A B C=30^{\circ}$.

Ví dụ 5. Cho tam giác $A B C$ có $\angle A B C=60^{\circ}, \angle A C B=45^{\circ}$, đường cao $A H=\sqrt{3}$.
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$.
b) Dựng đường cao $B K$. Tính $B K$ và $\sin B A C$.

Gợi ý

a) $A B \cdot \sin A B C=A H \Leftrightarrow A B \sin 60^{\circ}=$ $\sqrt{3} \Leftrightarrow A B \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, suy ra $A B=2$.
Tam giác $A H C$ vuông cân, suy ra $A C=$ $\sqrt{2} A H=\sqrt{6}$.
$B H=\sqrt{A B^2-A H^2}=1, C H=A H=$ $\sqrt{3}$.
Suy ra $B C=1+\sqrt{3}$.
b) Ta có $B K=B C \cdot \sin B C K=(1+$ $\sqrt{3}) \sin 45^{\circ}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.

Bài tập

Bài 1. Tìm độ dài cạnh và số đo các góc chưa biết của tam giác $A B C$ trong các trường hợp sau (làm tròn góc nếu cần).
a) $A B=15, \angle A=90^{\circ}, \angle C=60^{\circ}$.
b) $\angle A=90^{\circ}, A B=2, B C=4$.
c) $A B=3, B C=5, A C=4$.
d) $A B=12, \angle A=30^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$.

Bài 2. Tìm độ dài cạnh và số đo các góc chưa biết của tam giác $A B C$ trong các trường hợp sau:
a) $\angle A=90^{\circ}, \tan B=\frac{1}{2}, A C=5$.
b) $\angle A=90^{\circ}, \cos B=\frac{2}{3}, A B=3$.
c) $\angle A=75^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, B C=1+\sqrt{3}$.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại  $A$  và $B C=2 A B$. Tính số đo các góc của tam giác $A B C$. 

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ thỏa $\frac{A B}{1}=\frac{B C}{2}=\frac{A C}{\sqrt{3}} $.

Tính số đo các góc của tam giác $ A B C$.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$. Biết $\angle A B C=60^{\circ}$ và $A H=\sqrt{3}$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$.