1. Tập hợp là gì?
- Tập hợp là khái niệm cơ bản, không có định nghĩa.
- Kí hiệu tập hợp là các chữ cái in hoa: A, B, C…
- Trong tập hợp bao gồm các phần tử, tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\emptyset $.
- Phần tử $a$ thuộc tập $X$, kí hiệu là $a \in X$. Phần tử $b$ không thuộc tập $X$ kí hiệu là $b \notin X$.
- Cách cho tập hợp:
- Cho bằng cách liệt kê. Ví dụ $A = \{1, 2, 3, 4, 5 \}$.
- Cho bằng đặc trưng của tập hợp $A = \{n \in \mathbb{N}|n \vdots 5 \}$.
2.Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau.
Tập $A$ là tập con của $B$ (hay $A$ chứa trong $B$) khi và chỉ khi mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$.
$(A \subset B) \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B) $
Ta có các tình chất sau:
- Tập rỗng là con của mọi tập hợp.
- Một tập là tập con của chính nó
- Nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$.
3. Các phép toán trên tập hợp
a. Giao của hai tập hợp.
$A \cap B = \{x| x\in A \wedge x \in B \}$.
b. Hợp của hai tập hợp.
$A \cup B = \{x|x \in A \vee x \in B$\}$.
c. Hiệu – Phần bù
$A \setminus B = \{x|x \in A \wedge x \notin B \}$
Ví dụ. Cho $A = \\{1, 2, 3, 4 \\}, B = \\{3, 4, 5, 6 \\}, C = \\{5, 6, 1, 8\\}$.
Khi đó $A \cap B = \\{3, 4 \\}, A \cup C = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\\}, A \setminus B = \\{1, 2\\}, B \setminus A = \\{5, 6\\}$.
4. Các tập hợp số
a) Tập các số tự nhiên $\mathbb{N} = \\{0, 1, 2, …\\}$.
Tính chất.
- Một tập con của $\mathbb{N}$ luôn có phần tử nhỏ nhất.
- Tập số tự nhiên không có số lớn nhất.
- Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên nào.
b) Tập các số nguyên $\mathbb{Z} = \\{…,-2,-1,0,1,2,…\\}$
c) Tập các số hữu tỉ. $\mathbb{Q} = \\{\dfrac{m}{n}|m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \\}$.
Tính chất.
- Tổng hiệu tích thương (mẫu khác 0) của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ.
- Giữa hai số hữu tỉ bất kì luôn có một số hữu tỉ
d) Tập các số thực. Hợp của tập các hữu tỷ và vô tỷ.
Các tập con của tập các số thực.
Bài tập.
- Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5 \}, B = \{2,3, 4, 8 \}, C = \{3, 4, 10, 11 \}$. Tìm $A \setminus B, A \cap B, (A \cup B) \setminus C$.
- Cho $A = [-4;2], B = (-1;5), C = (-\infty;0)$. Tìm $\mathbb{R} \setminus A, A \cup B, C \setminus B, (A\cap B) \setminus C$.
- Cho hai tập A, B thoả mãn $C_{R}A=(2, +\infty), C_{R}B=(- \infty,1) \cup [3, + \infty)$. Hãy xác định các tập $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$ và phần bù của các tập trên.
- Cho $A=[\dfrac{1}{2}, +\infty), B=\{x \in \mathbb{R}: |2x-1| \le 1\}$. Tìm $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$ và phần bù của các tập trên.
- Cho $A=(2m-1, 2m+3), B=(-6,1]$. Tìm $m$ để
a. $A \subset B.$
b. $B \subset A.$ - Lớp 10A có 40 học sinh, trong đó có 15 bạn được xếp học lực giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, 10 bạn vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt.
a. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết để được khen thưởng thì bạn đó hoặc phải có học lực giỏi hoặc phải có hạnh kiểm tốt.
b. Lớp 10 A có bao nhiêu bạn chưa có học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?