Bài 1. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}$. Chứng minh rằng $a=b=c$.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1
$$

Khi đó, $a=b ; b=c ; c=a \Rightarrow a=b=c$.
Bài 2. Cho ba tỉ số bằng nhau là $\dfrac{a}{b+c}, \dfrac{b}{c+a}, \dfrac{c}{a+b}$. Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{2 a+2 b+2 c}=\dfrac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\dfrac{1}{2} \text {. }
$$

Bài 3. Cho $a+b+c+d \neq 0$ và $\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}$.

Tính giá trị của: $A=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{a+d}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}$.

Lời giải.
$$
\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{3 a+3 b+3 c+3 d}=\frac{a+b+c+d}{3(a+b+c+d)}=\frac{1}{3} \text {. }
$$

Khi đó, $3 a=b+c+d \quad ; 3 b=a+c+d \quad ; 3 c=a+b+d \quad ; 3 d=a+b+c$
$$
4 a=a+b+c+d \quad ; 4 b=a+b+c+d \quad ; 4 c=a+b+c+d \quad ; 4 d=a+b+c+d
$$

Khi đó, $4 a=4 b=4 c=4 d \Rightarrow a=b=c=d$.
Vậy $A=4$.

Bài 4. Cho tỉ lệ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
Lời giải.
$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}
$$

Bài 5. Cho tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Chứng minh rằng $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.
Lời giải.
$ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k .$
$k^2=\dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a b}{c d} . $
$k^2=\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2} $

Khi đó, $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.

Bài 6. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}$.

Chứng minh rằng: $\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d}$.

Lời giải.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}=k $

$\Rightarrow k^3=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3 . $
$k^3=\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d} $
$\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d} $

Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
(a) $\dfrac{3 a+5 b}{3 a-5 b}=\dfrac{3 c+5 d}{3 c-5 d}$;
(b) $\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$;
(c) $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{(a-b)^2}{(c-d)^2}$;
(d) $\dfrac{7 a^2+5 a c}{7 a^2-5 a c}=\dfrac{7 b^2+5 b d}{7 b^2-5 b d}$.

Bài 2. Cho $\dfrac{a}{2018}=\dfrac{b}{2019}=\dfrac{c}{2020}$.

Chứng minh rằng: $ 4(a-b)(b-c)=(c-a)^2$.

Bài 3. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}=\ldots=\dfrac{a_{2018}}{a_{2019}}$.

Chứng minh rằng: Ta có đẳng thức: $\dfrac{a_1}{a_{2019}}=\left(\dfrac{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2018}}{a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{2019}}\right)^{2018}$