1. Mệnh đề là gì?
Một mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc khẳng định sai.
Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai.
Tính “Đúng” hay “Sai” của mệnh đề được goi là chân trị của mệnh đề.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Một mệnh đề thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: P, Q, R…
2. Các phép toán trên mệnh đề
a. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P. Mệnh đề Không phải P được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là $\overline{P}$.
Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai và ngược lại.
Ví dụ 1. P =”TPHCM là thủ đô của Việt Nam”. Thì $\overline{P}$ = “TPHCM không là thủ đô của Việt Nam.”.
b. Mệnh đề kéo theo.
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và ký hiệu $P \Rightarrow Q$.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai khi P đúng Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
Cho mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$. Khi đó mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng $Q$ sai.
Ví dụ 2. P = “6 chia hết cho 3”. Q = “6 là số nguyên tố”.
khi đó $ P \Rightarrow Q$ = “6 chia hết cho 3 suy ra 6 là số nguyên tố”.
c. Mệnh đề tương đương.
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.
Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ 3. P = “6 chia hết cho 3”. Q = “6 là số nguyên tố”.
khi đó $ P \Leftrightarrow Q$ = “6 chia hết cho 3 khi và chỉ khi 6 là số nguyên tố”.
d. Mệnh đề hội.
Cho hai mệnh P và Q. Khi đó mệnh đề “P và Q” được gọi là mệnh đề hội. Kí hiệu $$P \wedge Q$$
Mệnh đề $P \wedge Q$ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng, và sai trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ 4. P = “Việt Nam có phía đông giáp biển”, Q = “Việt Nam có khí hậu nhiệt đới gió mùa”
$ P \wedge Q$ = “Việt Nam có phía đông giáp biển và khí hậu nhiệt đới gió mùa”.
e. Mệnh đề tuyển.
Cho hai mệnh P và Q. Khi đó mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là mệnh đề tuyển hay mệnh đề hoặc. Kí hiệu $$P \vee Q$$.
Mệnh đề $P \vee Q$ sai khi $P$ và $Q$ cùng sai, và đúng trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ 5. P = “Việt Nam có phía đông giáp biển”, Q = “Việt Nam có khí hậu nhiệt đới gió mùa”
$ P \vee Q$ = “Việt Nam có phía đông giáp biển hoặc có khí hậu nhiệt đới gió mùa”.
f. Biểu thức mệnh đề.
Một biểu thức mệnh đề là một biểu thức chứa mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề, giá trị của nó là chân trị Đúng hoặc Sai.
Ví dụ 6. $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)$ , $ (P \Rightarrow (Q \vee R)) \wedge (P \Rightarrow Q)$.
g. Mệnh đề hằng đúng, hằng sai.
Mệnh đề luôn nhận chân trị đúng được gọi là mệnh đề hằng đúng, kí hiệu là Đ. Mệnh đề luôn nhận chân trị sai được gọi là mệnh đề hằng sai, kí hiệu là S.
Ví dụ 7. $P \vee \overline{P}$ là hằng đúng, $P \wedge \overline{P}$ là hằng sai.
h. Tương đương logic.
Hai biểu thức mệnh đề $P$ và $Q$ được gọi là tương đương logic nếu $P \Leftrightarrow Q$ là hằng đúng. Ta có thể kí hiệu $P = Q$ nếu chúng tương đương logic.
Ví dụ 8. $\overline{P \vee Q} = \overline{P} \wedge \overline{Q}$ và $\overline{P \wedge Q} = \overline{P} \vee \overline{Q}$.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a)Hà Nội là thủ đô của Lào .
b) Danh đẹp trai!
c) Tú Anh hát thật hay!
d) Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của Pháp.
e) Có phải em là mùa thu Hà Nội?
Bài 2. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a) $\pi$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
b) Đức vô định Fifa World Cup 2014.
c) Việt Nam đạt 3 HCV Toán Quốc tế năm 2014.
d) $x + 1 = 2$
e) $x + y = z$
f) Mọi số tự nhiên đều là số không âm.
g) 5 là số vô tỷ.
Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? mệnh đề nào là mệnh đề sai?
a) Số 2015 chia hết cho 3.
b) Số 8 là số nguyên tố.
c) 121 là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)
d)Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều.
e) Phương trình $x^2 + 3x + 1=0$ vô nghiệm.
f) Tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3, 4, 5 là tam giác vuông.
g) Hai phương trình $x^2-4x+3= 0$ và phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x}=3$ có nghiệm chung.
Bài 4. Hãy viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề phủ định đúng hay sai?
a) Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của Việt Nam.
b) 13 là số nguyên tố .
c) 25 < 37.
d) $\sqrt{2}$ là số hữu tỷ.
e) Tổng 3 góc trong một tam giác bằng $360^o$.
f) Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại.
g) Tổng hai đường chéo của một tứ giác nhỏ hơn nửa chu vi.
Bài 5. Viết mệnh đề hội của các cặp mệnh đề sau và cho biết mệnh đề hội là đúng hay sai?
a) P:”30 chia hết cho 5” ; Q:”30 chia hết cho 3”.
b) P: “Thầy Vũ đã có vợ” ; Q:”Thầy Vũ dạy trường Phổ Thông Năng Khiếu”
c) P:”25 là số chính phương”; Q:”25 là số âm”
d) P:”Tam giác vuông có một góc bằng $90^o$”; Q:”Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau”;
e) P:”Việt Nam là nước thuộc vùng Đông Nam Á” ;
Q:” Việt Nam là nước khí hậu gió mùa nhiệt đới ẩm”
Bài 6. Hãy viết mệnh đề tuyển của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề tuyển là đúng hay sai?
a) P:” 30 là số nguyên tố” Q:”30 là số chính phương”
b) P:” – 2 = 2” Q:” – 5 < 6”
c) P:”$\dfrac{1}{3}$ là số hữu tỷ” Q:” $\pi$ là số vô tỷ”
Bài 7. Cho các cặp mệnh đề sau:
1) P: “ – 2 = 2” Q:” $(-2)^2 = 2^2$”
2) P:” Xuân Diệu là nhà Toán học vĩ đại” Q:” Galois là nhà thơ lớn người Việt Nam”
3) Cho tam giác ABC.
P:”Tam giác ABC có$\angle B = \angle C$ ” Q:”Tam giác ABC có AB = AC”
4) P:” – 5 < – 6 “ Q:” 100 > 1000″
5) P:” $\dfrac{1}{3}$ là số hữu tỷ” Q:”3 là hợp số”a) Viết mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
b) Viết mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
c) Viết mệnh đề $\overline{Q} \Rightarrow P$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
Bài 8. Cho các hai mệnh đề P và Q. Chứng minh rằng:a) Mệnh đề $P \wedge \overline{P}$ hằng sai.
b) Mệnh đề $P \vee \overline{P}$ hằng đúng.
c) Mệnh đề $\overline{P \wedge Q}$ và $\overline{P} \vee \overline{Q}$ cùng chân trị.
d) Mệnh đề $\overline{P \vee Q}$ và $\overline{P} \wedge \overline{Q}$ cùng chân trị.