Sử dụng phương pháp điểm trùng để chứng minh hình học

Trong việc giải các bài toán hình học, có một kĩ thuật khá là đặc biệt và cũng thường được sử dụng đó là sử dụng điểm trùng, kĩ thuật này dựa trên sự xác định duy nhất của hình để thực hiện.

Tình huống thường gặp nhất, ta cần chứng minh tính chất hay sự tồn tại của một số đối tượng hình học, chẳng hạn như giao điểm của một số đường thẳng. Khi đó, gọi hai hay một số giao điểm (dĩ nhiên tồn tại) của một số cặp hay một số đối tượng. Sau đó, ta sẽ chứng minh các giao điểm (đối tượng) mà ta vừa dựng là trùng nhau. Đôi khi để thực hiện điều này, ta cũng cần gọi thêm một số đối tượng khác cùng đi qua điểm đang xét rồi xét sự đồng quy của chúng với các đối tượng gọi thêm nhằm có thêm tính chất của các điểm mà ta cần chứng minh trùng nhau.

Ta chú ý một số tính chất sau:

Định lý 1. Về giao điêm của các đối tượng hình học:

  1. Hai đường thẳng có nhiều nhất 1 giao điêm.
  2. Hai đường tròn có nhiều nhất 2 giao điểm.
  3. Một đường thẳng và một đường tròn có nhiều nhất 2 giao điểm.
  4. Một tia có gốc nằm trong đường tròn và đường tròn đó có nhiều nhât 1 giao điềm.

Sau đây ta xét một số ví dụ trong chương trình toán hình học lớp 9.

Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A,B của (O) tại D,E. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.

a. DB cắt CH tại N. Chứng minh A,N,E thẳng hàng.

b.Đường thẳng qua A song song HE và đường thẳng qua B song song với HD cắt nhau tại M. Chứng minh D,M,E thẳng hàng.


a. BC cắt AD tại F, ta chứng minh được D là trung điểm của AF.

Khi đó CNDF=PNPD=HNAD.

AD=DF, suy ra CN=HN hay N là trung điểm của CH.

Gọi N là giao điểm của AECH, chứng minh tương tự ta cũng có N là trung điểm của CH. Do đó NN hay A,N,E thẳng hàng.

b. Phân tích: vẽ hình chính xác và trực giác ta dự đoán được M là trung điểm của DE, hơn nữa điểm M là được xác định duy nhất do là giao điểm của 2 đường, do đó ta có thể gọi M là trung điểm và chứng minh MM bằng cách chứng minh AM||HDBM||HC. Thực ra do vai trò như nhau nên chỉ cần chứng minh AM||HD là đủ.

Ta có HAHB=CDCE=ADBE. Suy ra AHDBHE. Suy ra AHD=BHE

Suy ra KHA=BHE=AHD. Từ đó ta có tam giác HDK cân tại HA là trung điểm AD.

Tam giác DHEMA là đường trung bình nên AM||EK hay AM||HE.

Chứng minh tương tự ta có BM||HD.

Vậy MM. Hay D,M,E thẳng hàng.

Ví dụ 2. (LHP 2019) Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N là hai điểm nằm trên cạnh BC sao cho MAN=30(M nằm giữa BN). Gọi K là giao điểm của hai đường tròn (ABN)(ACM)(K khác A). Chứng minh rằng hai điểm KC đối xứng với nhau qua AN.

Lời giải

Việc chứng minh trực tiếp K,C đối xứng qu AN nhìn có vẻ dễ nhưng khi tìm cách chứng minh thì liên kết lại hơi khó, cảm giác như bị thiếu thiếu gì đó, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ mới có thể làm được. Do đó ta nghĩ tới kĩ thuật điểm trùng, tức là dựng ra một điểm K đối xứng với C qua AN và chứng minh K là giao điểm của hai đường tròn.

Gọi K là điểm đối xứng của C qua AN. Có
AKN=ACN=ABN
nên tứ giác ABKN nội tiếp. Suy ra K(ABN). Có
MAK+NAC=MAK+KAN=30
BAM+NAC=30
suy ra MAK=BAM.
Suy ra ABM=AKM(cgc) nên AKM=ABC=ACB ta thu được K(AMC). Vậy KK ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có H là trực tâm tam giác ABCAD là đường kính của (O). Trên các cạnh AB,AC lấy E,F sao cho AE=AFE,H,F thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt phân giác góc BAC tại P. Chứng minh H,P,D thẳng hàng.

Lời giải

Gọi P là giao điểm phân giác góc BACHD. Ta chứng minh PP, hay cần chứng minh AEPF nội tiếp.

Ta có tính chất quen thuộc HAB=DAC, nên AP cũng là phân giác HAD.

Ta có AEF=ABH+EHB, AFE=ACH+FHC.

ABH=ACHAEF=AFE nên EHB=FHC=EHL.

Do đó HE là phân giác LHB, suy ra LEEB=HLHB. (1)

Tam giác AHL và tam giác ADC đồng dạng, suy ra HLCD=AHAD.

CD=BH,AHAD=HPPD, suy ra HLHB=HPPD. (2)

Từ (1) và (2) ta có LEEB=HPPD, suy ra PE||HL||BD, suy ra PEAB.

Chứng minh tương tự ta có PFAC.

Do đó AEPF nội tiếp, suy ra PP. Hay D,P,H thẳng hàng.

Ví dụ 4. (PTNK 2022) Cho tam giác ABC có trực tâm H,D đối xứng với H qua A. I là trung điểm của CD, đường tròn (I) đường kính CD cắt AB tại E,F(E thuộc tia AB)
a) Chứng minhECD=FCHAE=AF.
b) Chứng minh H là trực tâm của CEF.
c) BH cắt AC tại K. Chứng minh EFKH nội tiếp và EF là tiếp tuyến chung của (CKE)(CKF).
d) Chứng minh tiếp tuyến tại C của (I) và tiếp tuyến tại K của (KEF) cắt nhau trên đường thẳng AB.

Lời giải. Các câu a, b, c dành cho bạn đọc, ở đây mình trình bày lời giải cho câu d.

Lấy N đối xứng với K qua AB.
ENF=EKF=EHF=180ECFN(I)
AP=AK=ANKNP=90NP|BCENPF là hình thang cân.
ECN=FCPECNACFECANCF.
NEAF=ECACEANF=CACF
NEEC=AFAC=AEAC=NFCF
Tiếp tuyến tại NC của (I) cắt nhau tại S,SF cắt (I) tại E(EF)
SENSNFNENF=SESN
SECSCFECCF=SESC
NENF=ECCF
Từ (1) và (2) suy ra: EE
Mà tiếp tuyến tại N của (I) đối xứng với tiếp tuyến tại K của (EHF) qua AB nên ta có đpcm.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB,AC đến (O), một cát tuyến qua A cắt (O) tại D,E sao cho D nằm giữa AE và tia AE nằm giữa hai tia AB,AO. Đường thẳng qua D song song BE cắt BC tại F. Gọi K là điểm đối xứng của B qua E, chứng minh A,P,K thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC đều, trên cạnh AB,AC lấy M,N thỏa AMBM+ANCN=1. Chứng minh rằng MN tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài 3. Cho tam giác ABC có các đường cao AA1,BB1,CC1 và trực tâm H. Chúng minh rằng đường thẳng Euler của các tam giác AB1C1,BC1A1,CA1B1 đồng quy.

Bài 4. (Nga 2017) Cho hình thang cân ABCDBC<ADBCAD. Đường tròn w qua B,C cắt cạnh AB tại X, đường chéo BD tại Y. Tiếp tuyến tại C của w cắt AD tại Z. Chứng minh X,Y,Z thẳng hàng.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *