Trong việc giải các bài toán hình học, có một kĩ thuật khá là đặc biệt và cũng thường được sử dụng đó là sử dụng điểm trùng, kĩ thuật này dựa trên sự xác định duy nhất của hình để thực hiện.
Tình huống thường gặp nhất, ta cần chứng minh tính chất hay sự tồn tại của một số đối tượng hình học, chẳng hạn như giao điểm của một số đường thẳng. Khi đó, gọi hai hay một số giao điểm (dĩ nhiên tồn tại) của một số cặp hay một số đối tượng. Sau đó, ta sẽ chứng minh các giao điểm (đối tượng) mà ta vừa dựng là trùng nhau. Đôi khi để thực hiện điều này, ta cũng cần gọi thêm một số đối tượng khác cùng đi qua điểm đang xét rồi xét sự đồng quy của chúng với các đối tượng gọi thêm nhằm có thêm tính chất của các điểm mà ta cần chứng minh trùng nhau.
Ta chú ý một số tính chất sau:
Định lý 1. Về giao điêm của các đối tượng hình học:
- Hai đường thẳng có nhiều nhất 1 giao điêm.
- Hai đường tròn có nhiều nhất 2 giao điểm.
- Một đường thẳng và một đường tròn có nhiều nhất 2 giao điểm.
- Một tia có gốc nằm trong đường tròn và đường tròn đó có nhiều nhât 1 giao điềm.
Sau đây ta xét một số ví dụ trong chương trình toán hình học lớp 9.
Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm đường kính , thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại cắt tiếp tuyến tại của tại . Gọi là hình chiếu của trên .
a. cắt tại . Chứng minh thẳng hàng.
b.Đường thẳng qua song song và đường thẳng qua song song với cắt nhau tại . Chứng minh thẳng hàng.
a. cắt tại , ta chứng minh được là trung điểm của .
Khi đó .
Mà , suy ra hay là trung điểm của .
Gọi là giao điểm của và , chứng minh tương tự ta cũng có là trung điểm của . Do đó hay thẳng hàng.
b. Phân tích: vẽ hình chính xác và trực giác ta dự đoán được là trung điểm của , hơn nữa điểm là được xác định duy nhất do là giao điểm của 2 đường, do đó ta có thể gọi là trung điểm và chứng minh bằng cách chứng minh và . Thực ra do vai trò như nhau nên chỉ cần chứng minh là đủ.
Ta có . Suy ra . Suy ra
Suy ra . Từ đó ta có tam giác cân tại và là trung điểm .
Tam giác có là đường trung bình nên hay .
Chứng minh tương tự ta có .
Vậy . Hay thẳng hàng.
Ví dụ 2. (LHP 2019) Cho tam giác đều . Gọi là hai điểm nằm trên cạnh sao cho nằm giữa và . Gọi là giao điểm của hai đường tròn và khác . Chứng minh rằng hai điểm và đối xứng với nhau qua .
Lời giải
Việc chứng minh trực tiếp đối xứng qu nhìn có vẻ dễ nhưng khi tìm cách chứng minh thì liên kết lại hơi khó, cảm giác như bị thiếu thiếu gì đó, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ mới có thể làm được. Do đó ta nghĩ tới kĩ thuật điểm trùng, tức là dựng ra một điểm đối xứng với qua và chứng minh là giao điểm của hai đường tròn.
Gọi là điểm đối xứng của qua . Có
nên tứ giác nội tiếp. Suy ra . Có
suy ra .
Suy ra nên ta thu được . Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn , có là trực tâm tam giác và là đường kính của . Trên các cạnh lấy sao cho và thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt phân giác góc tại . Chứng minh thẳng hàng.
Lời giải
Gọi là giao điểm phân giác góc và . Ta chứng minh , hay cần chứng minh nội tiếp.
Ta có tính chất quen thuộc , nên cũng là phân giác .
Ta có , .
Mà và nên .
Do đó là phân giác , suy ra . (1)
Tam giác và tam giác đồng dạng, suy ra .
Mà , suy ra . (2)
Từ (1) và (2) ta có , suy ra , suy ra .
Chứng minh tương tự ta có .
Do đó nội tiếp, suy ra . Hay thẳng hàng.
Ví dụ 4. (PTNK 2022) Cho tam giác có trực tâm đối xứng với qua . là trung điểm của , đường tròn đường kính cắt tại thuộc tia
a) Chứng và .
b) Chứng minh là trực tâm của .
c) cắt tại . Chứng minh nội tiếp và là tiếp tuyến chung của và .
d) Chứng minh tiếp tuyến tại của và tiếp tuyến tại của cắt nhau trên đường thẳng .
Lời giải. Các câu a, b, c dành cho bạn đọc, ở đây mình trình bày lời giải cho câu d.
Lấy đối xứng với qua .
là hình thang cân.
và .
và
Tiếp tuyến tại và của cắt nhau tại cắt tại
Từ (1) và suy ra:
Mà tiếp tuyến tại của đối xứng với tiếp tuyến tại của qua nên ta có đpcm.
Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Từ vẽ các tiếp tuyến đến , một cát tuyến qua cắt tại sao cho nằm giữa và và tia nằm giữa hai tia . Đường thẳng qua song song cắt tại . Gọi là điểm đối xứng của qua , chứng minh thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác đều, trên cạnh lấy thỏa . Chứng minh rằng tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài 3. Cho tam giác có các đường cao và trực tâm . Chúng minh rằng đường thẳng Euler của các tam giác đồng quy.
Bài 4. (Nga 2017) Cho hình thang cân có và . Đường tròn qua cắt cạnh tại , đường chéo tại . Tiếp tuyến tại của cắt tại . Chứng minh thẳng hàng.
Like this:
Like Loading...