Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1 (5,0 điểm) Xét dãy số $\left(a_n\right)$ thỏa mãn $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\sqrt[3]{3 a_{n+1}-a_n}$ và $0 \leq a_n \leq 1$, với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh rằng dãy $\left(a_n\right)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy số $\left(b_n\right)$ xác định bởi $b_n=\left(1+2 a_1\right)\left(1+2^2 a_2\right) \cdots\left(1+2^n a_n\right)$ với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng dãy $\left(b_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5,0 điểm) Cho các số nguyên $a, b, c, \alpha, \beta$ và dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi
$$
u_1=\alpha, u_2=\beta, u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n+c \text { với mọi } n \geq 1 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng nếu $a=3, b=-2, c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha ; \beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:
i) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$;
ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho 2023.

Bài 3 (5,0 điểm) Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$$
\frac{1}{k a b+c^2}+\frac{1}{k b c+a^2}+\frac{1}{k c a+b^2} \geq \frac{k+3}{a^2+b^2+c^2}
$$
đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a ; b ; c)$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=2(a b+b c+c a)$.
Bài 4 (5,0 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ có $D B=D C$ và nội tiếp một đường tròn. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $A B, A C$ và $J, E, F$ tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $A B C$ với $B C, C A, A B$. Đường thẳng $M N$ cắt $J E, J F$ lần lượt tại $K, H ; I J$ cắt lại đường tròn $(I B C)$ tại $G$ và $D G$ cắt lại $(I B C)$ tại $T$.
a) Chứng minh rằng $J A$ đi qua trung điểm của $H K$ và vuông góc với $I T$.
b) Gọi $R, S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $A B, A C$. Lấy các điểm $P, Q$ lần lượt trên $I F, I E$ sao cho $K P$ và $H Q$ đều vuông góc với $M N$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $M P, N Q$ và $R S$ đồng quy.

Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5 (6,0 điểm) Xét các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0)=2022$ và
$$
f(x+g(y))=x f(y)+(2023-y) f(x)+g(x) \text { với mọi } x, y \in \mathbb{R} \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng $f$ là một toàn ánh và $g$ là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 6 (7,0 điểm) Có $n \geq 2$ lớp học tổ chức $m \geq 1$ tổ ngoại khóa cho học sinh. Lớp nào cũng có học sinh tham gia ít nhất một tổ ngoại khóa. Mọi tổ ngoại khóa đều có đúng a lớp có học sinh tham gia. Với hai tổ ngoại khóa bất kỳ, có không quá $b$ lớp có học sinh tham gia đồng thời cả hai tổ này.
a) Tính $m$ khi $n=8, a=4, b=1$.
b) Chứng minh rằng $n \geq 20 \mathrm{khi} m=6, a=10, b=4$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ khi $m=20, a=4, b=1$.

Bài 7 (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ tương ứng tại $M, N, P$. Gọi $\Omega_A$ là một đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ tại một điểm $A^{\prime}$ và cắt lại $A B, A C$ tương ứng tại $A_b, A_c$. Các đường tròn $\Omega_B, \Omega_C$ và các điểm $B^{\prime}, B_a, B_c$, $C^{\prime}, C_a, C_b$ được xác định một cách tương tự.
a) Chứng minh rằng $B_c C_b+C_a A_c+A_b B_a \geq N P+P M+M N$.
b) Xét trường hợp $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ tương ứng thuộc các đường thẳng $A M, B N, C P$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh tương ứng thuộc ba đường thẳng $A_b A_c, B_c B_a, C_a C_b$. Chứng minh rằng $O H$ song song với $I K$.

(Nguồn: Bộ Giáo Dục Việt Nam)