1. Phương pháp tách ghép

Ví dụ 1: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge a+b+c.$

Ví dụ 2: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \ge a+b+c$$

Ví dụ 3: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).$$

2. Bài tập

Bài 1: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\dfrac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c} \ge abc$.

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

a) $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \ge a+b+c$

b) $\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c$

c) $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a} \ge ab+bc+ca.$

d) $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}.$

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương ta có: $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).$$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) $(p-a)(p-b)(p-c) \le \dfrac{1}{8}abc$.

b) $\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \ge 2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$.

c) $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b-c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+a-b}} \ge 3$

Bài 5: Cho 3 số không âm $a,b,c$ chứng minh rằng: $$ a+b+c \ge \sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}. $$

Bài 6: Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh: $$ a^3+b^3+c^3 \ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}. $$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng: $$ (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \ge abc(a+b)(b+c)(c+a). $$

Bài 8: Cho các số dương $x, y, z$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}).$$

Bài 9: Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh: $$\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{c^2+3} \le \dfrac{3}{2}.$$

Bài 10: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=1$. Chứng minh: $$\dfrac{c+ab}{a+b}+\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c} \ge 2.$$

Bài 11: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh: $$\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ac}{c+3a+2b} \le \dfrac{a+b+c}{6}.$$

Bài 12: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=1$. Chứng minh: $$\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {c}{b} + \frac {c}{a} + \frac {b}{c} + \frac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}} + \sqrt{\frac{1-b}{b}} + \sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ).$$

Bài 13: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=3$. Chứng minh: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge ab+bc+ca.$