Đề thi vào lớp 10 trường Phổ thông Năng khiếu năm 2016
Bài 1. Biết $a$ và $b$ là các số dương, $a \neq b$ và
$$\left(\dfrac{a(a-4b)+b(b+2a) }{a+b}\right):\left[\left(\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} -\sqrt{ab}\right) \left( \dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} + \sqrt{ab}\right)\right] = 2016$$
Tính $S=a+b$.
Giải
Ta có $\dfrac{a\left( a – 4b \right) + b\left( b + 2a \right)}{a + b} = \dfrac{a^2 – 2ab + b^2}{a + b} = \dfrac{\left( a – b \right)^2}{a + b}$
$\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} = \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a – \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} = {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2}$
$\dfrac{{a\sqrt a – b\sqrt b }}{{\sqrt a – \sqrt b }} + \sqrt {ab} = {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}$
Do đó $2016 = \dfrac{(a-b)^2}{a+b}:\left[(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\right] = \dfrac{1}{a+b}$.
Suy ra $a + b = \dfrac{1}{2016}$.
Bài 2.
a) Giải phương trình $x\sqrt{x+5}=2x^2-5x$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} (\sqrt{y}+x-3)(y+\sqrt{x})=0\\ x^2+y=5 \end{array}\right.$
Giải
a) Điều kiện $x \geq -5$.
Ta có $x\sqrt{x+5}=2x^2-5x \Leftrightarrow x(\sqrt{x+5}-2x+5)=0 \Leftrightarrow x= 0 (n), \sqrt{x+5}= 2x-5$.
Ta có $\sqrt{x+5}= 2x-5 \Leftrightarrow x+5 = (2x-5)^2 (x \geq \dfrac{5}{2}) \Leftrightarrow 4x^2-21x+20 = 0 \Leftrightarrow x = 4 \ (n), x = \dfrac{5}{4}\ (l)$.
Vậy $S = \{0, 4\}$.
b) Điều kiện $x \geq 0, y \geq 0$.
Ta có $(1) \Leftrightarrow y + \sqrt{x}=0, \sqrt{y}+x-3=0$.
Với $y + \sqrt{x}=0$ mà $y\geq 0$ nên $x = y = 0$ (không thỏa $(2)$).
Với $\sqrt{y}+x-3=0$. Đặt $a =\sqrt{y}$ ta có $a+x = 3 (3)$; $a^2+x^2=5 (4)$.
Từ $(3)$ ta có $a = 3-x$, thế vào $(4)$ ta có
$x^2+(3-x)^2=5 \Leftrightarrow 2x^2-6x+4=0 \Leftrightarrow x = 1,x=2$.
Với $x = 1$ ta có $y = 4$.
Với $x = 2$ ta có $y = 1$.
Vậy hệ phương trình có $2$ nghiệm $(x,y)$ là $(1,4)$ và $(2,1)$.
Bài 3. Cho phương trình $\dfrac{(x+1)(x^2+mx+2m+14)}{\sqrt{x}} = 0 \ (1)$.
a) Giải phương trình (1) khi $m = -8$.
b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho:
$$\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$$
Giải
a) Điều kiện $x > 0$.
Khi $m = -8$ ta có phương trình:
$\dfrac{(x+1)(x^2-8m-2)}{\sqrt{x}} = 0 \Leftrightarrow x^2-8x – 2 = 0$ (do $x+1 > 0$)
$\Leftrightarrow x = 4+3\sqrt{2} \ (n), \ x=4-3\sqrt{2} \ (l)$.
Vậy phương trình có một nghiệm $x = 4 +3\sqrt{2}$.
b) Phương trình $(1)$ tương đương $x^2+mx+2m+14 = 0$ $(2)$.
Để $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt thì $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương, tương đương $\Delta = m^2-4(2m+14) > 0, S = -m > 0, P = 2m + 14 >0 $ $(*)$
Khi đó $x_1 + x_2 = -m, x_1x_2 = 2m+14$ và $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2+mx_2+2m+14 = 0$
Suy ra $x_2^2+(m+1)x_2 +2m+14 = x_2$.
Do đó $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1} $
$\Leftrightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3 \Leftrightarrow x_1 + x_2 +2\sqrt{x_1x_2}=9 $
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+14}=9+m \Leftrightarrow 4(2m+14) = m^2+18m+81 $
$\Leftrightarrow m^2 +10m+25 = 0 \Leftrightarrow m = -5 \ (n)$ vì thỏa $(*)$.
Kết luận $m = -5$.
Bài 4.
a) Ông An định cải tạo một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng $2,5$ chiều rộng. Ông thấy rằng nếu đào một cái hồ có mặt hồ là hình chữ nhật thì sẽ chiếm mất $3\%$ diện tích mảnh vườn, còn nếu giảm chiều dài $5m$ và tăng chiều rộng $2m$ thì mặt hồ là hình vuông và diện tích mặt hồ giảm được $20m^2$. Hãy tính các cạnh của mảnh vườn.
b) Lớp $9A$ có $27$ học sinh nam và $18$ học sinh nữ. Nhân dịp sinh nhật bạn $X$ (là một thành viên của lớp), các bạn trong lớp có rất nhiều món quà tặng $X$. Ngoài ra mỗi bạn nam của lớp làm $3$ tấm thiệp và mỗi bạn nữ xếp $2$ hoặc $5$ con hạc để tặng bạn $X$. Biết số tấm thiệp và số con hạc bằng nhau, hỏi bạn $X$ là nam hay nữ?
Giải
a) Gọi chiều dài và chiều rộng của hồ là $x, y\ (m)$.
Ta có $x-5 = y + 2$ (1) và $xy – (x-5)(y+2) = 20$ $(2)$.
Từ $(1)$ suy ra $x =y + 7$, thế vào $(2)$ ta có
$y(y+7) -(y+2)^2 =20 \Leftrightarrow 3y = 24 \Leftrightarrow y = 8, x = 15$.
Suy ra diện tích hồ là 120$m^2$.
Gọi chiều rộng của mảnh vườn là $a$.
Ta có chiều dài là $2,5a$ và diện tích là $2,5a^2$.
Ta có phương trình $3\%2,5a^2=120 \Leftrightarrow a = 40$.
Vậy kích thước mảnh vườn là $40 \times 100$.
b) Gọi $x$ là số bạn nữ tặng $2$ con hạc, $y$ là số bạn nữa tặng $5$ con hạc.
- Giả sử bạn $X$ là nam, ta có hệ phương trình $26.3 = 2x+5y, x + y = 18$.
Giải ra được $y= 14, x = 4$ (thỏa).
- Giả sử bạn $X$ là nữ, ta có hệ $27.3 = 2x+5y, x + y = 17$
Suy ra $y = \dfrac{47}{3}$ (loại vì $y$ là số nguyên).
Vậy bạn $X$ là nam.
Bài 5. Tam giác $ABC$ đều có tâm $O$,$AB = 6a$ và các điểm $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB, AC$ mà $AM = AN = 2a$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC$ và $MN$.
a) Chứng minh các điểm $M, N, B, C$ cùng thuộc một đường tròn T. Tính diện tích tứ giác $BMNC$ theo $a$.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$. Chứng minh đường tròn đường kính $NC$ tiếp xúc với $AI$.
c) $AE$ tiếp xúc với đường tròn $T$ tại $E$ ($E, B$ cùng phía đối với $AI$).Gọi $F$ là trung điểm $OE$, tính số đo $\angle AFJ$.
Giải
a) Ta có $AM = AN = 2a$,$\angle MAN = 60^\circ$ nên tam giác $AMN$ đều.
Suy ra $\angle AMN = 60^\circ = \angle ACB$. Suy ra $BMNC$ nội tiếp.
Ta có $MN ||BC$, $AK \bot MN, AI \bot BC$. Suy ra $A, K, I$ thẳng hàng.
$AI = AC \sin \angle ACB = 3a \sqrt{3}$, $AK = AN . \sin \angle ANM = a\sqrt{3}$. Suy ra $IK = 2a\sqrt{3}$.
Do đó $S_{BMNC} = \dfrac{1}{2}IK(MN+BC) = 8a^2\sqrt{3}$.
b) Ta có $OJ \bot AC$, $NJ = AJ-AN=a, NK = \dfrac{1}{2}MN=a$.
Suy ra $\Delta OJN = \Delta OKN$, suy ra $OJ = OK$, tương tự ta có $OJ = OI$.
Tam giác $IJK$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $OI = a\sqrt{3}$.
Gọi $P$ là trung điểm của $CN$. Ta có $KNCI$ là hình thang, và $OP$ là đường trung bình.
Suy ra $OP = \dfrac{1}{2}(KN+CI) = 2a = PN = PC$.
Suy ra $O$ thuộc đường tròn đường kính $CN$ mà $PO||KN$ nên $PO \bot KI$.
Suy ra $KI$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CN$.
c) Ta có $\angle AEM = \angle ABE$. Suy ra $\Delta AEM \backsim \Delta ABE$, suy ra $AE^2=AM.AB = 12a^2$.
Suy ra $AE = 2a\sqrt{3}= AO$. Suy ra tam giác $AEO$ cân tại $A$.
Do đó $\angle AFO = 90^\circ$, suy ra $AFOJ$ nội tiếp. Suy ra $\angle AFJ = \angle AOJ = 60^\circ$.
Like this:
Like Loading...