Bài 1. Cho phương trình bậc hai $x^{2}-(m+3) x+m^{2}=0$ trong đó $m$ là tham số sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$.
(a) Khi $m=1$. Chứng minh rằng ta có hệ thức $\sqrt[8]{x_{1}}+\sqrt[8]{x_{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$
(b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}=\sqrt{5}$
(c) Xét đa thức $P(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$. Tìm tất cả các cặp số $(a, b)$ sao cho ta có hệ thức $P\left(x_{1}\right)=P\left(x_{2}\right)$ với mọi giá trị của tham số $m$.
Bài 2. (a) Cho $a, b$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$
P=\frac{\sqrt{1+a^{2}} \sqrt{1+b^{2}}}{1+a b}
$$
(b) Cho các số $x, y, z$ thỏa $|x| \leq 1,|y| \leq 1,|z| \leq 1$. Chứng minh rằng:
$$
\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}} \leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}
$$
Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nhọn có $A B=b, A C=c . M$ là một điểm thay đổi trên cạnh $A B$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $B C M$ cắt $A C$ tại $N$.
(a) Chứng minh rằng tam giác $A M N$ đồng dạng với tam giác $A C B$. Tính tỉ số $\frac{M A}{M B}$ để diện tích tam giác $A M N$ bằng $\frac{1}{2}$ diện tích tam giác $A C B$.
(b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A M N$. Chứng minh rằng $I$ luôn thuộc một đường cố định.
(c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $M B C$. Chứng minh rằng đoạn thẳng $I J$ có độ dài không đổi.
Bài 4. Cho các số nguyên $a, b, c$ sao cho $2 a+b, 2 b+c, 2 c+a$ đều là các số chính phương.
(a) Biết rằng có ít nhất một trong 3 số chính phương trên chia hết cho $3 .$ Chứng minh rằng $(a-b)(b-c)(c-a)$ chia hết cho 27 .
(b) Tồn tại hay không các số $a, b, c$ thỏa điều kiện $\left(^{*}\right)$ mà $(a-b)(b-c)(c-a)$ không chia hết cho 27 ?
Bài 5. Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A B=3, A D=4$.
(a) Chứng minh rằng từ 7 điểm bất kì trong hình chữ nhật $A B C D$ luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $\sqrt{5}$
(b) Chứng minh khẳng định ở câu $\mathrm{a}$ ) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật $A B C D$.

Đáp án