1. Chọn điểm rơi

Ví dụ 1: Cho $a\ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+{\displaystyle \frac{1}{a}}$.

Ví dụ 2: Cho $a\ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$.

Ví dụ 3: Cho các số không âm $a,b,c$ thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3.$

Ví dụ 4: Cho $a,b,c>0$, $a+b+c=1$. Chứng minh $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le \sqrt{6}.$

Ví dụ 5: Cho $a,b>0$, $a+b\le 1$. Tìm GTNN của $P={\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{ab}}+4ab.$

Ví dụ 6: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh rằng $${\displaystyle \frac{a^2}{1+b}}+{\displaystyle \frac{b^2}{1+c}}+{\displaystyle \frac{c^2}{1+a}}\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}.$$

2. Bài tập

Bài 1: Cho $a\ge 6.$ Tìm GTNN của $a^2+{\displaystyle \frac{18}{a}}$.

Bài 2: Cho $x\ge 1$. Tìm GTNN của $P=3x+{\displaystyle \frac{1}{2x}}.$

Bài 3: Cho $a,b>0$, $a+b\le 1$. Tìm GTNN của $P=ab+{\displaystyle \frac{1}{ab}}.$

Bài 4: Cho $a,b>0$. Tìm GTNN của $P={\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{ab}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{ab}}{a+b}}.$

Bài 5: Cho $a,b>0$, $a+b\le 1$. Tìm GTNN của $P={\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2ab}}$.

Bài 6: Cho $a,b>0$ thỏa $a+b\le 1$. Tìm GTNN của $P={\displaystyle \frac{1}{1+a^2+b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2ab}}$.

Bài 7: Cho $a,b>0$, $a+b=1$. Chứng minh:

a) $a^3+b^3\ge {\displaystyle \frac{1}{4}}$.

b) $a^4+b^4\ge {\displaystyle \frac{1}{8}}.$

Bài 8: Cho $a,b,c>0$, $a+b+c=1$. Tìm GTLN của $$P=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}.$$

Bài 9: Cho $a,b,c>0$, $a+b+c=3$. Tìm GTLN của $$P=\sqrt[3]{a(b+2c)}+\sqrt[3]{b(c+2a)}+\sqrt[3]{c(a+2b)}.$$

Bài 10: Cho $a,b,c>0$, $abc=1$. Chứng minh $${\displaystyle \frac{a^3}{(a+1)(b+1)}}+{\displaystyle \frac{b^3}{(c+1)(a+1)}}+{\displaystyle \frac{c^3}{(a+1)(b+1)}}\ge {\displaystyle \frac{3}{4}}.$$

Bài 11: Cho $a,b,c>0$, $a+b+c=3$. Chứng minh $${\displaystyle \frac{a^3}{b(2c+a)}}+{\displaystyle \frac{b^3}{c(2a+b)}}+{\displaystyle \frac{c^3}{a(2b+c)}}\ge 1.$$

Bài 12: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh $${\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}}+{\displaystyle \frac{1}{b^3(c+a)}}+{\displaystyle \frac{1}{c^3(a+b)}}\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$$

Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $${\displaystyle \frac{b^{2}c}{a^3(b+c)}}+{\displaystyle \frac{c^{2}a}{b^3(c+a)}}+{\displaystyle \frac{a^{2}b}{c^3(a+b)}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}(a+b+c).$$

Bài 14: Cho $x,y,z>0$, $xyz=1$. Chứng minh $x^3+y^3+z^3\ge x+y+z$.

Bài 15: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3$. Biết $a^2+b^2+c^2=3$.

Bài 16: Cho $a,b,c>0$ và $a+2b+3c\ge 20$. Tìm GTNN của $$S=a+b+c+{\displaystyle \frac{3}{a}}+{\displaystyle \frac{9}{2b}}+{\displaystyle \frac{4}{c}}.$$

Bài 17: Cho các số dương $a,b,c$ thoà $a+b+c=1$. Chứng minh $$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\le 1.$$