1. Chọn điểm rơi
Ví dụ 1: Cho $a \ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+\dfrac{1}{a}$.
Giải
Ta có $P =\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{3a}{4} \ge 2 \sqrt{ \dfrac{a}{4}. \dfrac{1}{a}}+\dfrac{3.2}{4} =\dfrac{5}{2}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} \dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{a}&\\ a=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=2.$
Ví dụ 2: Cho $a \ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+\dfrac{1}{a^2}$.
Giải
Ta có: $P=\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{8}+\dfrac{1}{a^2} +\dfrac{6a}{8} \ge 3 \sqrt[3]{\dfrac{a}{8}. \dfrac{a}{8}. \dfrac{1}{a^2}}+\dfrac{6a}{8}$
$\hspace{6,5cm} \ge \dfrac{3}{4}+\dfrac{6.2}{8} \ge \dfrac{9}{4}.$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} \dfrac{a}{8}=\dfrac{1}{a^2}&\\ a=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=2.$
Ví dụ 3: Cho các số không âm $a,b,c$ thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3.$
Giải
Ta có: $a^3+a^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} a^2$
$b^3+b^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} b^2$
$c^3+c^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} c^2$
Cộng vế theo theo vế ba băt đẳng thức trên ta được
$2(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \ge \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ chỉ $\begin{cases} a^2+b^2+c^2=1 &\\ a^3=b^3=c^3=\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Ví dụ 4: Cho $ a, b, c>0$, $a+b+c=1$. Chứng minh $ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \le \sqrt{6}. $
Giải
Đặt $P = \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} $.
Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{xy} \le \dfrac{x+y}{2}$ ta được:
$\sqrt{(a+b) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{a+b+\dfrac{2}{3}}{2}$
$\sqrt{(b+c) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{b+c+\dfrac{2}{3}}{2}$
$\sqrt{(c+a) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{c+a+\dfrac{2}{3}}{2}.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\sqrt{\dfrac{2}{3}} \cdot P \le \dfrac{2(a+b+c)+2}{2}=2 \Leftrightarrow P \le \sqrt{6}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} a+b+c=1&\\ a+b=b+c=c+a=\dfrac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}.$
Ví dụ 5: Cho $a, b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}+4ab.$
Giải
Ta có: $\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}+4ab = \dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\left( 4ab+\dfrac{1}{4ab}\right) + \dfrac{1}{4ab}$
$\hspace{5,4cm} \ge \dfrac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{4ab. \dfrac{1}{4ab}}+\dfrac{1}{(a+b)^2} \ge 7.$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} a+b=1&\\a=b \end{cases} \Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}.$
Ví dụ 6: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a} \ge \dfrac{3}{2}.$$
Giải
Đặt $P = \dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a} $
Ta có: $\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{1+b}{4} \ge a$
$\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{1+c}{4} \ge b$
$\dfrac{c^2}{1+a}+\dfrac{1+a}{4} \ge c.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: $$P \ge (a+b+c)-\dfrac{1}{4}(a+b+c)-\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}.3.\sqrt[3]{abc}-\dfrac{3}{4}= \dfrac{3}{2}.$$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$
2. Bài tập
Bài 1: Cho $a \ge 6.$ Tìm GTNN của $ a^2+\dfrac{18}{a}$.
Bài 2: Cho $x \ge 1$. Tìm GTNN của $P=3x+\dfrac{1}{2x}.$
Bài 3: Cho $a,b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=ab+\dfrac{1}{ab}.$
Bài 4: Cho $a,b>0$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}.$
Bài 5: Cho $a,b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}$.
Bài 6: Cho $a,b>0$ thỏa $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}$.
Bài 7: Cho $a,b>0$, $a+b=1$. Chứng minh:
a) $a^3+b^3 \ge \dfrac{1}{4}$.
b) $a^4+b^4 \ge \dfrac{1}{8}.$
Bài 8: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=1$. Tìm GTLN của $$ P=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}. $$
Bài 9: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=3$. Tìm GTLN của $$ P=\sqrt[3]{a(b+2c)}+\sqrt[3]{b(c+2a)}+\sqrt[3]{c(a+2b)}. $$
Bài 10: Cho $a, b, c >0$, $abc=1$. Chứng minh $$ \dfrac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\dfrac{c^3}{(a+1)(b+1)} \ge \dfrac{3}{4}. $$
Bài 11: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=3$. Chứng minh $$ \dfrac{a^3}{b(2c+a)}+\dfrac{b^3}{c(2a+b)}+\dfrac{c^3}{a(2b+c)} \ge 1.$$
Bài 12: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh $$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{b^2c}{a^3(b+c)}+\dfrac{c^2a}{b^3(c+a)}+\dfrac{a^2b}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{2}(a+b+c).$$
Bài 14: Cho $x, y, z>0$, $xyz=1$. Chứng minh $x^3+y^3+z^3 \ge x+y+z$.
Bài 15: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3$. Biết $a^2+b^2+c^2=3$.
Bài 16: Cho $a,b,c>0$ và $a+2b+3c \ge 20$. Tìm GTNN của $$S=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}.$$
Bài 17: Cho các số dương $a,b,c$ thoà $a+b+c=1$. Chứng minh $$a\sqrt[3]{1+b-c}+b \sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b} \le 1.$$
Like this:
Like Loading...