Category Archives: Phương trình

Phương trình bậc nhất: $ax + b = 0$.

Leave a reply

Giải và biện luận phương trình $ax + b = 0$. 

  • Nếu $a \neq 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{-b}{a}$.
  • Nếu $a = 0, b \neq 0$ thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu $a = 0, b = 0$ thì mọi $x \in \mathbb{R}$ đều là nghiệm.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $(m-1)x + 2m – 3 = 0$.

Giải
  • Khi $m -1 \neq 0 \Leftrightarrow m = 1$, phương trình có nghiệm $x = \dfrac{3-2m}{m-1}$.
  • Khi $m = 1$, ta có phương trình $0x -1 = 0$ (Vô nghiệm).

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $(m^2-3m + 2)x – m^2 +1 = 0$.

Giải
  • Khi $m^2 – 3m + 2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1, m\neq 2$ thì phương trình có nghiệm $x = \dfrac{m^2-1}{m^2-3m+2} = \dfrac{m+1}{m-2}$.
  • Khi $m^2 – 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ hoặc $m = 2$.
    • Với $m = 1$ thì $ 1-m^2 = 0$ nên mọi $x \in \mathbb{R}$ đều là nghiệm.
    • Với $m = 2$ thì $1 – m^2 \neq 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{3mx – 1}{x-m} =2 $ có nghiệm duy nhất.

Giải

Điều kiện $x \neq m$. Phương trình tương đương với $3mx – 1 = 2(x-m) \Leftrightarrow (3m-2)x = -2m+1$.

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $3m – 2 \neq 0$ và $x = \dfrac{-2m-1}{3m-2} \neq m \Leftrightarrow m \neq \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Kết luận: $m \neq \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài tập

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) $(m^2-4m+2)x=m-2$
b) $m^2(x-1)=mx-1$
c) $m(x-m+3)=m(x-2)+6$
d) $m(mx-1)=4x+2$

Bài 2. Định $m$ để các phương trình sau vô nghiệm
a) $(4m^2-2)x=1+2m-x$
b) $(m+1)^2x-2=(4m+9)x-m$
c) $\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x}{x+m}$
d) $\dfrac{x+1}{x-m+1}=\dfrac{x}{x+m+2}$

Bài 3. Định $m$ để phương trình sau có nghiệm
a) $m^2(x-1)=4x-3m+2$
b) $\dfrac{2x+m}{x-1}-\dfrac{x+m-1}{x}=1$
c) $\dfrac{x+m}{x+3}=\dfrac{x}{x+1}$

[WpProQuiz 4]