Category Archives: Đường tròn

Sự xác định đường tròn

Leave a reply

Định lý. Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định được một đường tròn.

Chú ý. Tâm $O$ của đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ là giao điểm ba đường trung trực của các cạnh của tam giác $ABC$. Đường tròn qua 3 đỉnh của tam giác $ABC$ được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tam giác $ABC$ được gọi là tam giác nội tiếp đường trò $(O)$.}

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 6, BC = 10$. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gợi ý
  • Gọi $O$ là trung điểm cạnh $BC$.
  • Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AO$ là trung tuyến nên $AO = \dfrac{1}{2}BC$.
  • Suy ra $AO = OB = OC$. Vậy $O$ là tâm đường tròn qua 3 đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$.
  • Ta có $BC = \sqrt{AB^2+AC^2}= \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Suy ra $OA = \dfrac{1}{2} BC = 5$.
  • Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông $ABC$ là trung điểm $O$ của $BC$ và bán kính bằng $OA =5$.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhận $ABCD$ có $\angle ABD = 60^\circ, AB = a$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn, xác định tâm và tính bán kính của đường tròn.

Gợi ý
  • Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
  • $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$, đó đó 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$.
  • Ta có $\cos \angle ABD = \dfrac{AB}{AD}$, hay $\cos 60^\circ = \dfrac{a}{BD}$, suy ra $BD = 2a$. Từ đó $OB = a$.
  • Vậy bán kính đường tròn là $a$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB  = AC = 5cm, BC = 6cm$.

a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

b. Vẽ đường kính $BD$. Tính $AD$ và $CD$.  \item Chứng minh $\angle ADB = \angle ABC$.

Gợi ý

a.

  • Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tam giác $ABC$ cân nên $AM$ là trung trực của $BC$.
  • Trung trực của $AB$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $AM$ tại $O$, thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
  • Ta có $\Delta AEO \backsim \Delta AMB$, suy ra $AE\cdot AB = AO\cdot AM$, suy ra $AO = \dfrac{AE\cdot AB}{AM}$.
  • Mà $AE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{5}{2}, AM = \sqrt{AB^2-BM^2}= 4$.  Suy ra $AO = \dfrac{25}{8}$.
  • Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $\dfrac{25}{8}$.

b.

  • Ta có $BD = 2OA = \dfrac{25}{4}$.
  • Tam giác $ABD$ có trung tuyến $AO$ bằng $\dfrac{1}{2}BD$ nên vuông tại $A$, suy ra $AD = \sqrt{BD^2-AB^2}= \dfrac{15}{4}$.
  • Ta có $CD = \sqrt{BD^2-BC^2}= \dfrac{\sqrt{481}}{4}$.
  • Ta có $\angle ABD + \angle ADB = 90^\circ$, $\angle ABC = \angle BAM = 90^\circ$.
  • Mà $\angle ABD = \angle BAM$ (do tam giác $OAB$ cân tại $O$), suy ra $\angle ABD = \angle ADB$.

Bài tập.

1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trong các trường hợp sau.

a. Tam giác đều cạnh a.

b. Tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 6 và 8.

c. Tam giác cân có các cạnh là 12, 12, 10.

2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AD$ với $AD = DC = 4, DB = 2$. Gọi $E, F$ chân đường vuông góc từ $D$ đến $AB, AC$.

a. Tính $AE, AF$.  \item Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.

b. Trung trực của $BC$ cắt $DF$ tại $O$. Chứng minh $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $OA$.

3. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. $C$ là điểm thay đổi thuộc nửa đường tròn. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $C$ trên $AB$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AC, BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $CH$.

a. Tìm vị trí của $C$ để $DE$ đạt giá trị lớn nhất.

b. Gọi $F$ là giao điểm của $OC$ và $DE$. Chứng minh 4 điểm $I, H, O,F$ cùng thuộc một đường tròn.

c. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $DE$ và đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt nhau tại điểm $K$. Chứng minh $IK$ không đổi và 4 điểm $A, B, D, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $K$.

Trung trực BC giao phân giác góc A thuộc đường tròn ngoại tiếp.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ với $AB < AC$. Phân giác trong góc $A$ và trung trực đoạn $BC$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $ABDC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB, AC$.

$\Delta ADE = \Delta AED$ nên ta có $AE = AF, DE = DF$.

Suy ra $\Delta DBF = \Delta DCF \Rightarrow BE = CF$.

Nếu $E, F$ cùng nằm trong hoặc cùng nằm ngoài đoạn $AB, AC$ thì $AB = AC$ (vô lý), do đó $E$ nằm ngoài đoạn $AB$ và $F$ nằm trong đoạn $AC$ (do $AB < AC$).

Khi đó $\angle ACD = \angle EBD$, suy ra tứ giác $ABDC$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong.)

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Đường thẳng vuông góc với bán kính cắt hai cạnh tạo thành tứ giác nội tiếp.

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính $AD$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AD$ cắt $CD, BD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh 4 điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $AD$.

Ta có $\angle ACD = 90^\circ = \angle AHE$, suy ra $AHCE$ nội tiếp, suy ra $\angle DAC = \angle DEF$.

Mà $\angle DBC = \angle DAC$

Nên $\angle DBC = \angle DEF$, suy ra tứ giác $BCEF$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp cùng thuộc đường tròn.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\angle A = 60^\circ$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh 5 điểm $B, C, H, I, O$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Và $\angle BOC = 2 \angle BAC = 120^\circ$.(2)

$\angle BIC = 180^\circ – \angle IBC – \angle ICB = 180^\circ – \dfrac{180^\circ – \angle BAC}{2} = 120^\circ$. (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle BHC = \angle BOC = \angle BIC = 120^\circ$ nên 5 điểm B, C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Điểm Migle, trực tâm, trung điểm thẳng hàng.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.

  1. Chứng minh rằng 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
  2. $EF$ cắt $BC$ tại $K$, $AK$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh $AQFE, KQFB$ là các tứ giác nội tiếp.
  3. Chứng minh 3 điểm $Q, H, M$ thẳng hàng.
Gợi ý
  1. Ta có $BFHD, BFEC$ nội tiếp, suy ra $\angle DFE = \angle DBE = \angle CFE$.
    Suy ra $\angle DFE = 2\angle DBE$.
    Tam giác $EMB$ cân tại $M$, suy ra $\angle EMC = 2\angle DBE$.
    Do đó $\angle EMC = \angle DFE$, suy ra $EFDM$ nội tiếp.
  2. Ta có $BFHD, BFEC$ nội tiếp, suy ra $\angle DFE = \angle DBE = \angle CFE$.  Suy ra $\angle DFE = 2\angle DBE$.
    Tam giác $EMB$ cân tại $M$, suy ra $\angle EMC = 2\angle DBE$.
    Do đó $\angle EMC = \angle DFE$, suy ra $EFDM$ nội tiếp.
    Tam giác $CBH$ có MN là đường trung bình, suy ra $MN||BH$, suy ra $\angle CMN = \angle CBH$,
    mà $\angle CBH = \angle DFC$, suy ra $\angle CMN =\angle DFC$ nên tứ giác $FDMN$ nội tiếp.
    Do đó 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn. Vì các tứ giác $AQBC, EFBC$ nội tiếp nên $KQ.KA = KB.KC$ và $KB.KC = KE.KF$, suy ra $KQ.KA = KF.KE$, từ đó ta có $AQFE$ nội tiếp.
    Ta có $\angle KQF = \angle AEF$ (AQFE nội tiếp) và $\angle AEF = \angle ABC$ ($BFEC$ nội tiếp), suy ra $\angle KQF = \angle ABC$, do đó tứ giác $KQFB$ nội tiếp.
  3. Ta có $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$,nên $Q$ thuộc đường tròn đường kính $AH$, suy ra $\angle AQH = 90^\circ$.  (1)
    Vẽ đường kính $AA’$, khi đó ta có $BHCA’$ là hình bình hành, nên $M$ thuộc $HA’$. (2)
    Mặt khác $\angle AQA’ = 90^\circ$. (3)
    Từ (1), (2) và (3) ta có $Q, H, M$ thẳng hàng.

Bài Giảng Tứ giác nội tiếp

Bài tứ giác nội tiếp cơ bản

Leave a reply

Đề bài.  Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ và trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $A$ trên $BM$. Chứng minh tứ giác $HDMC$ nội tiếp.

Gợi ý

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $BH.BC = AB^2$.(1)

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $BH.BC = AB^2$.(1)

Tam giác $ABM$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường cao nên $BD.BM = AB^2$.(2)

Từ (1) và (2), suy ra $BH.BC = BD.BM$, suy ra $\Delta BDH \backsim \Delta BCM \Rightarrow \angle BDH = \angle BCM$.

Tứ giác $HDMC$ có $\angle BDH = \angle BCM$ nên là tứ giác nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Một bổ đề về tứ giác nội tiếp

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M$ là một điểm thuộc cung BC không chứa $A$. $AM$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $BEKM, CDKM$ là các tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

Ta có $\Delta ADB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Ta có $\Delta ADB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Từ đó ta có $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$, suy ra $\angle ADE = \angle ABC$.(1)

Mà $\angle AMC = \angle ABC$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\angle ADE = \angle AMC$, do đó tứ giác $CDKM$ nội tiếp.

Chứng minh tương tự ta cũng có $BEKM$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp