Bài viết vietep2
Định lý Viete và áp dụng (P2)
Leave a reply
Category Archives: Lớp 9
Đồ thị hàm số bậc hai
Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh $O$.
Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.
Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x^2$
Bảng giá trị:
Vẽ đồ thị:
Ví dụ 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right): y=ax^2$ đi qua điểm $A\left( -2; -\dfrac{1}{4}\right) $. Từ đó chứng minh $B\left( 4;-1\right) $ thuộc đồ thị $\left( P\right) $.
Ví dụ 3: Cho parabol $\left( P\right) : y=x^2$. Tìm điểm $M$ trên $\left( P\right) $ sao cho hoành độ bằng $4$ lần tung độ.
Ví dụ 4: Cho parabol $\left( P\right) : y=2x^2$ và đường thẳng $d: y=3x+2$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( P\right) $ và $d$.
Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=-2x^2$
b) $y=\dfrac{x^2}{2}$
c) $y=-\dfrac{x^2}{3}$
Bài 2: Tìm $a$ biết đồ thị $\left( P\right) : y=ax^2$ đi qua:
a) $A\left( 1;2\right) $
b) $B\left( -1;4\right) $
c) $C\left( 2; -8\right) $
Bài 3: Cho hàm số: $y=\dfrac{1}{4}x^2$
a) Vẽ đồ thị $\left( P\right) $ của hàm số.
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị $\left( P\right) $: $A\left( -2;1\right) ; B\left( 1;1\right) ; C\left( -1;\dfrac{1}{4}\right) $?
Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $\left( P\right) : y=ax^2$.
a) Biết $\left( P\right) $ đi qua điểm $M\left( 2;-1\right) $, tìm hệ số $a$. Vẽ parabol $\left( P\right) $ vừa tìm được.
b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x=-2$.
c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y=-9$.
Bài 5: Cho parabol $\left( P\right): y=mx^2$ và đường thẳng $\left( D\right) : y=2x-1$.
a) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ đi qua điểm $A\left( 2;8\right) $.
b) Tìm $m$ để $\left( P\right) $ tiếp xúc với $\left( D\right) $.
Bài 6: Một vật chuyển động với vận tốc được tính theo thời gian bởi công thức $v=2t^2$ với $t\ge 0$. Một vật khác chuyển động cùng lúc với vận tốc được tính theo thời gian là $v=3t+2$.
a) Vẽ đồ thị hàm số biểu diễn vận tộc của hai vật trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm thời điểm hai vật có vận tốc bằng nhau.
Hàm số bậc hai $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $
Ví dụ 1: Một số loại gạch lát nền hình vuông có nhiều kích cỡ khác nhau.
Nếu gọi $x$ $\left( cm\right) $ là chiều dài cạch của một miếng gạch thì diện tích của một miếng gạch là $S=x^2$.
Công thức $S=x^2$ là một hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2$ với $a=1$.
Ví dụ 2:
a) Xác định hệ số $a$ của các hàm số sau: $y=3x^2$, $y=-2x^2$, $y=\dfrac{2}{3} x^2$.
b) Tính giá trị tương ứng của $y$ trong bảng sau:
Giải
a) Hàm số $y=3x^2$ có hệ số $a=3$.
Hàm số $y=-2x^2$ có hệ số $a=-2$.
Hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^2$ có hệ số $a=\dfrac{2}{3}$.
b)
Tính chất: Hàm số $y=ax^2$ $\left( a\ne 0\right) $ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
- Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến khi $x>0$, nghịch biến khi $x<0$.
- Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$.
Ví dụ 3:
a) Hàm số $y=3x^2$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ có $a=3>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.
b) Hàm số $y=-2x^2$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ có $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.
Nhận xét:
- Nếu $a>0$ thì $y>0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=0$.
- Nếu $a<0$ thì $y<0$ với mọi $x\ne 0$; $y=0$ khi $x=0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$.
Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số $y=f(x)=-5x^2$.
a) Xác định hệ số $a$. Tìm điều kiện của $x$ để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Tính $f\left( -2\right) $, $f\left( \dfrac{2}{5}\right) $, $f\left( \sqrt{3}\right) $.
c) Tìm $x$ khi $f\left( x\right) =-1$, $f\left( x\right) =0$, $f\left( x\right) =3$.
Bài 2: Diện tích $S$ $\left( m^2\right) $ của một hình tròn sẽ phụ thuộc vào bán kính $r$ $\left( m\right) $ của hình tròn đó.
a) Lập hàm số của $S$ theo $r$. Xác định hệ số $a$.
b) Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu bán kính giảm đi 2 lần? Bán kính tăng lên 3 lần?
Bài 3: Một vật rơi từ độ cao $144$ $m$ xuống mặt đất. Biết rằng quãng đường chuyển động $s$ $\left( m\right) $ của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) thông qua công thức: $s=4t^2$.
a) Tính quãng đường vật đi được sau $3$ giây. Lúc đó vật còn cách mặt đất bao nhiêu mét?
b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?
c) Tính quãng đường đi được trong giây thứ $3$.
Bài 4: Lực $F\left( N\right) $ của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió $v$ $\left( m/s\right) $ theo công thức $F=kv^2$ ($k$ là một hằng số).
a) Tìm hằng số $k$ biết vận tốc của gió là $v=5$ $\left( m/s\right) $ thì lực tác dụng vào cánh buồm là $F=100N$.
b) Nếu vận tốc của gió là $v=20$ $\left( m/s\right) $ thì lực của gió tác động vào cánh buồm là bao nhiêu?
c) Cánh buồm của chiếc thuyền chỉ có thể chịu được lực tối đa là $F=2116N$. Hỏi thuyền có thể ra khởi khi vận tốc gió là $v=90$ $\left( km/h\right) $ hay không? Nếu không thì thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió tối đa là bao nhiêu?
Bài 5: Khi thả một viên đá xuống một chiếc giếng, quãng đường viên đá rơi được trong thời gian $t$ (giây) sẽ được tính theo công thức $D=4,9t^2$ $\left( m\right) $.
a) Tính quãng đường viên đá rơi được trong $1$ giây, $2$ giây, $3$ giây.
b) Hãy tính độ sâu của cái giếng nếu viên đá chạm đáy giếng sau $4,3$ giây.
c) Nếu cái giếng sâu $100$ $m$, hãy tính thời gian từ lúc viên đá rơi cho tới khi viên đá chạm đáy giếng.
Căn bậc ba
1. Khái niện căn bậc ba
Định nghĩa: Căn bậc ba của một số $a$ là một số $x$ sao cho $x^3=a$
Ví dụ 1: $2$ là căn bậc ba của $8$ vì $2^3=8$.
$-5$ là căn bậc ba của $-125$ vì $(-5)^3=-27$.
Ta công nhận kết quả sau: Mỗi số $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba.
Kí hiệu căn bậc ba của số $a$ là: $\sqrt[3]{a}$, số $3$ gọi là chỉ số của căn.
Ví dụ 2: Tìm căn bậc ba của mỗi số sau:
a) $27$;
b) $-216$;
c) $0$
d) $\dfrac {-1}{64}$
2. Tính chất Ta có các tính chất sau của căn bậc ba: a) $a<b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} <\sqrt[3]{b}$ b) $\sqrt [3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$ c) Với $b\ne 0$, ta có $\sqrt [3]{\dfrac {a}{b}}=\dfrac {\sqrt [3]{a}}{\sqrt [3]{b}}$ Ví dụ 3: Tính các căn bậc ba sau: a) $\sqrt[3]{27.64}$ b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}$ Lời giải: a) $\sqrt[3]{27.64}=\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{64}=3.4=12$ b) $\sqrt[3]{\dfrac{125}{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{5}{2}$ Ví dụ 4: So sánh các số sau: a) $3$ và $\sqrt[3]{26}$ b) $-4$ và $\sqrt[3]{-63}$ Lời giải: a) Ta có: $3=\sqrt[3]{27}$ mà $27>26$ do đó $\sqrt[3]{27}>\sqrt[3]{26}$ Vậy $3>\sqrt[3]{26}$ b) Ta có: $-4=\sqrt[3]{-64}$ mà $-64<-63$ dó đó $\sqrt[3]{-64}<\sqrt[3]{-63}$ Vậy $-4<\sqrt[3]{-63}$ Bài tập Bài 1: Tính các căn bậc ba sau: a) $\sqrt[3]{343}$ b) $\sqrt[3]{\dfrac{-64}{27}}$ c) $\sqrt[3]{0,216}$ d) $\sqrt[3]{-1331}$ Bài 2: TÍnh: a) $\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{512}+3\sqrt[3]{27}$ b) $\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{54}-\dfrac{2}{5}\dfrac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}}$ c) $\sqrt[3]{40x^3y}-x\sqrt[3]{135y}$ d) $\sqrt{12-6\sqrt 3}-\sqrt[3]{26-15\sqrt 3}$ Bài 3: So sánh các số sau: a) $3$ và $\sqrt[3]{\dfrac{4096}{125}}$ b) $4\sqrt[3]{5}$ và $5\sqrt[3]{3}$ Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau: a) $A=\dfrac{x}{4}-\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{3}}$ với $x=-3$ b) $B=2x-\sqrt[3]{24x^2}-\sqrt[3]{16y}$ với $x=3$ và $y=-4$ Bài 5: Tìm $x$ biết: a) $\sqrt[3]{7x+36}=4$ b) $2+\sqrt[3]{2x-3}=0$
Rút gọn biến đổi căn thức nâng cao
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\left( \dfrac {\sqrt {x}-1}{\sqrt {x}+1} -\dfrac {\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\right).\left( \sqrt {x} -\dfrac {1}{\sqrt {x}}\right) $ với $x> 0$, $x \ne 1$
b) $\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$
c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$ với $a>0$, $a\ne 1$
d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $ với $x\ge 0$, $y\ge 0$, $xy\ne 1$
Ví dụ 2: Chứng minh với mọi giá trị của $x$ để biểu thức có nghĩa thì giá trị của: $A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$ không phụ thuộc vào $x$.
Ví dụ 3: Cho biểu thức $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $ a) Chứng minh $A=\sqrt {1-x}$. b) Tính $x$ khi $A=\dfrac{1}{2}$.
Bài tập: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) $\left( 2+\dfrac {a-\sqrt a}{\sqrt a-1}\right) \left( 2-\dfrac {a+\sqrt a}{\sqrt a+1}\right) $ với $a\ge 0$, $a\ne 1$ b) $\left( \dfrac {y}{\sqrt y}-\dfrac {\sqrt y}{\sqrt y+1}\right) :\dfrac {\sqrt y}{y+\sqrt y}$ với $y>0$ c) $\left( \dfrac {x\sqrt x+1}{x\sqrt x+x+\sqrt x+1}-\dfrac {\sqrt x}{x+1}\right) :\dfrac {\sqrt x-1}{x+1}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$ d) $\left( \dfrac {1}{\sqrt x}-\dfrac {1}{x}\right):\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {\sqrt x+2}{\sqrt x-1}\right) $ với $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne 4$ e) $\dfrac {\sqrt x+7x+13}{x+3\sqrt x-10}+\dfrac {\sqrt x+5}{2-\sqrt x}-\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x+5}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$ f) $\left( \dfrac {\left( 16-\sqrt a\right) \sqrt a}{a-4}+\dfrac {3+2\sqrt a}{2-\sqrt a}-\dfrac {2-3\sqrt a}{\sqrt a+2}\right) :\dfrac {1}{a+4\sqrt a+4}$ với $a\ge 0$, $a\ne 4$ Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $x$, $y$ $A=\dfrac {\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\dfrac {x\sqrt x-y\sqrt x}{x+y}.\left( \dfrac {\sqrt x}{\left( \sqrt x-\sqrt y \right)^2}-\dfrac {\sqrt y}{x-y}\right) $ Bài 3: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {2}{x-4}\right) \left( \sqrt x-1+\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x}\right) $ a) Chứng minh $P=\sqrt x+3$. b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $P=x+3$. Bài 4: Cho biểu thức $P=\dfrac {3x+\sqrt x}{x+\sqrt x}+\dfrac{ 3\left( x-\sqrt x+1\right) }{x\sqrt x+1}$ với $x>0$ a) Rút gọn biểu thức $P$. b) Chứng minh $P<4$. Bài 5: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x}{2}-\dfrac {1}{2\sqrt x}\right) \left( \dfrac {x-\sqrt x}{\sqrt x+1}-\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x-1}\right) $ Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P>-6$.
Rút gọn biến đổi căn thức chứa biến và các bài toán liên quan
Ví dụ 1: Cho biểu thức:
$P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $
a) Rút gọn $P$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.
Ví dụ 2: Cho biểu thức: $M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $ ($x>0$, $x\ne 4$) a) Rút gọn $M$. b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.
Bài tập: Bài 1: Cho biểu thức: $P=\dfrac {x^2-\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\dfrac {2x+\sqrt x}{\sqrt x}+\dfrac {2\left( x-1\right) }{\sqrt x-1}$ Rút gọn $P$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $P$. Bài 2: Cho biểu thức: $A=\dfrac {15\sqrt x-11}{x+2\sqrt x-3}-\dfrac {3\sqrt x-2}{\sqrt x-1}-\dfrac {2\sqrt x+3}{\sqrt x+3}$ Rút gọn $A$ và tìm giá trị lớn nhất của $A$. Bài 3: Cho biểu thức: $P=\dfrac {1}{\sqrt x-1}-\dfrac {x\sqrt x-\sqrt x}{x+1}\left( \dfrac {1}{x-2\sqrt x+1}+\dfrac {1}{1-x}\right) $ a) Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P=-\dfrac {2}{5}$. b) Tìm $x$ nguyên để $\sqrt x$, $\dfrac {1}{P}$ cũng là số nguyên. Bài 4: Cho biểu thức: $A=\left( \dfrac {1}{x+\sqrt x}-\dfrac {2-\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) :\left( \dfrac {1}{x}+x-2\right) $ Rút gọn biểu thức $A$. Tìm số chính phương $x$ để $3A$ là số nguyên. Bài 5: Cho biểu thức: $A=\dfrac {7}{\sqrt x+8}$ và $B=\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}+\dfrac {2\sqrt x-24}{x-9}$ với $x\ge 0$, $x\ne 9$ a) Chứng minh $B=\dfrac {\sqrt x+8}{\sqrt x+3}$. b) Tìm $x$ để biểu thức $P=A.B$ có giá trị là số nguyên$. Bài 6: Cho biểu thức: $M=\left( 2+\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) \left( 1-2\sqrt x-x+\dfrac {1-x\sqrt x}{1-\sqrt x}\right) $ a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $M$ có nghĩa. Rút gọn biểu thức $M$. b) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $P=\dfrac {2}{M}$ nhận giá trị là số nguyên. Bài 7: Rút gọn biểu thức: $T=\dfrac {2\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt {ab} +2\sqrt a-\sqrt b-2}-\dfrac {2-\sqrt {ab}}{\sqrt {ab}+2\sqrt a+\sqrt b+2}$ với $a, b\ge 0$, $a\ne 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $T$ khi $a$ là số tự nhiên khác $1$.
Trục căn thức ở mẫu
Tính chất: Trục căn thức ở mẫu:
- $\dfrac{1}{\sqrt A}=\dfrac {\sqrt A}{A}$.
- $\dfrac {1}{\sqrt A-\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A+\sqrt B}{A-B}$.
- $\dfrac {1}{\sqrt A+\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A-\sqrt B}{A-B}$.
Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:
a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}$.
b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}$.
c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$.
Bài tập:
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu:
a) $\dfrac{7}{\sqrt 3 }$; $\dfrac{3}{2\sqrt 5 }$; $\dfrac{5}{3\sqrt {12} }$; $\dfrac{2}{3\sqrt {20} }$.
b)$\dfrac{\sqrt 3 + 3}{5\sqrt 3 }$; $\dfrac{7 – \sqrt 7 }{\sqrt 7 – 1}$; $\dfrac{2}{\sqrt 5 + \sqrt 3 }$; $\dfrac{\sqrt 5 + 2}{\sqrt 5 – 2}$.
c) $\dfrac{y + a\sqrt y }{a\sqrt y }$; $\dfrac{b – \sqrt b }{\sqrt b – 1}$; $\dfrac{b}{5 + \sqrt b }$; $\dfrac{p}{2\sqrt p – 1}$.
Bài 2: Tính:
a) $\dfrac{1}{{2 – \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2 + \sqrt 5 }}$.
b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.
c) $\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 – \sqrt 3 }} – \dfrac{{2 – \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$.
d) $\dfrac{2}{{\sqrt 3 – 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 – 2}} + \dfrac{{12}}{{3 – \sqrt 3 }}$.
Bài 3: Rút gọn:
a) $\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{{2\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 2}}$.
b) $\dfrac{{5\sqrt 2 – 2\sqrt 5 }}{{\sqrt {10} }} – \dfrac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}$.
c) $\dfrac{{\sqrt {15} – \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 – 2}} – \dfrac{1}{{2 – \sqrt 3 }}$.
d) $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} – 1}} – \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} + 1}}$.
Căn bậc hai
Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2=a$.
Ví dụ 1:
a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$.
b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.
c) Căn bậc hai của $0$ là $0$.
Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^2=a$.
Kí hiệu $x=\sqrt a$.
Ví dụ 2:
a) $\sqrt 4=2$.
b) $\sqrt {36}=6$.
Tính chất 1: Với $a\ge 0$ thì:
- $x=\sqrt a$ thì $x\ge 0$ và $x^2=a$. Hay $\sqrt a\ge 0$ và $\left (\sqrt a \right )^2=a$.
- Nếu $x \ge 0$ và $x^2=a$ thì $x= \sqrt a$.
Tính chất 2: Cho $a$, $b$ là các số không âm. Khi đó $a<b \Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$
Ví dụ 3: So sánh các số:
a) $1$ và $\sqrt 2$.
b) $2$ và $\sqrt 5$.
c) $17$ và $\sqrt {290}$.
Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:
a) $\sqrt x <2$.
b) $2<\sqrt x <4$.
Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.
Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của $A$, $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.
Biểu thức $\sqrt A$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.
Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.
a) $\sqrt {2x-1}$.
b) $\sqrt{4-3x}$.
c)$\sqrt {x^2}$.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$.
a) $\sqrt {x^2+4}$.
b) $\sqrt {x^2-4x+4}$.
c) $\sqrt {2x^2-4x+3}$.
Bài tập:
Bài 1: Tính :
a) $\sqrt {81}$.
b) $\sqrt {225}$.
c) $\sqrt {0,49}$.
d) $\sqrt {12^2+5^2}$.
e) $-0,25\sqrt {(-0,4)^2}$.
Bài 2: So sánh các căn sau:
a) $\sqrt {20}$ và $2\sqrt 5$.
b) $2\sqrt 3$ và $3\sqrt 2$.
c) $-7\sqrt 3$ và $-2\sqrt {10}$.
d) $\sqrt 3 -3\sqrt 2$ và $-4\sqrt 3 +5\sqrt 2$.
e) $2+\sqrt 2$ và $5-\sqrt 3$.
Bài 3: Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:
a) $\sqrt {3x-2}$.
b) $\sqrt {4x^2-20x+25}$.
c) $\sqrt {\dfrac {-5}{9-5x}}$.
d) $\sqrt {x^2-4}$.
Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:
a) $\sqrt x=3$.
b) $\sqrt x +2=7$.
c) $\sqrt {x+1} -1=4$.
d) $\sqrt {x-1} =\sqrt {13}$.
Hệ thức trong tam giác vuông – Bài 1
I. Lý thuyết và ví dụ
| Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.
Đặt $BC = a, AC=b, AB =c, AH=h, BH=c’, CH=b’$. Khi đó:
|
 |
Dạng 1. Các bài tính toán cơ bản
Ví dụ 1. Tính $a, b’,c’,h$ trong hình sau:
Ví dụ 2. Tính $b, b’,c$ trong hình sau:
Ví dụ 3. Tính $c, h, b’$ trong hình sau:
III. Bài tập
1.Tính các yếu tố còn lại trong hình đã cho.
3. Tìm $x, y$ trong hình cho dưới đây.
4.Tìm độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $25cm$ và đường cao ứng với cạnh huyền bằng $12 cm$.
6. Tính $x, y$ trong hình sau:
7. Tìm $x, y$ là cạnh của hình chữ nhật biết $MN = 1$.
8. (*) Cho tam giác $ABC$ vuông có đường cao $AH$, trung tuyến $BM$ và phân giác $CD$ đồng quy.
-
- (a). Chứng minh $BH = AC$.
- (b). Tính $AB, AC$ biết $BC = 10cm$.
Tứ giác nội tiếp
Định nghĩa: Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp.
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Một tứ giác là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi:
- Tổng hai góc đối bằng $180^o$.
- Góc ngoài bằng góc đối trong.
- Hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. (a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $BDHE$ là tứ giác nội tiếp. (b) Chứng minh các tứ giác $BFEC$, $AEDC$ là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$ với $B, C$ là các tiếp điểm. $OA$ cắt $BC$ tại $H$. (a) Chứng minh rằng tứ giác $OBAC$ nội tiếp. (b) Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ sao cho $E$ nằm giữa $A$ và $D$. Chứng minh rằng $O, H, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H $ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng: (a) $AD.AB = AE.AC$. (b) Tứ giác $BDEC$ là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DE$. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DE$. (a) Chứng minh $\angle AED = \dfrac{180^\circ-\angle A}{2}$. (b) Chứng minh 4 điểm $I, E, M, C$ cùng thuộc một đường tròn. (c) Gọi $N$ là giao điểm của $CI$ và $DE$. Chứng minh 4 điểm $B, N, M, C$ cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho $\angle BAD = \angle CAE$. Gọi $M, N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD, AE$; $P, Q$ là hình chiếu vuông góc của C trên $AD, AE$. Chứng minh 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $BC$.
Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập.
- Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: (a) $AD.AB = AE.AC$. (b) Tứ giác $BDEC$ là tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M$ là một điểm thuộc cung BC không chứa $A$. $AM$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $BEKM, CDKM$ là các tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ và trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $A$ trên $BM$. Chứng minh tứ giác $HDMC$ nội tiếp.[Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH. (a) Chứng minh rằng 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn. (b) $EF$ cắt $BC$ tại $K$, $AK$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh $AQFE, KQFB$ là các tứ giác nội tiếp. (c) Chứng minh 3 điểm $Q, H, M$ thẳng hàng.[Gợi ý]
- Hình bình hành $ABCD$ có góc tù $B$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng $DE$ vuông góc $AC, DF$ vuông góc $AB, DG$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $O, E, G, F$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
- Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CD. AM cắt BN tại E, BN cắt DM tại F và DM cắt AN tại G. Chứng minh rằng tứ giác AEPF nội tiếp. [Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\angle A = 60^\circ$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh 5 điểm $B, C, H, I, O$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính $AD$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AD$ cắt $CD, BD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh 4 điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
- Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. (a) Chứng minh rằng 4 điểm $E,F , C, P$ cùng thuộc một đường tròn. (b) Chứng minh $P$ thuộc $(O)$ và $E, O, F$ thẳng hàng. [Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$ với $AB < AC$. Phân giác trong góc $A$ và trung trực đoạn $BC$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $ABDC$ là tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$. (a) Chứng minh các tứ giác $KPEC, KPDB$ nội tiếp. (b) Chứng minh $K, D, E$ thẳng hàng. [Gợi ý]
- Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.[Gợi ý]