Category Archives: Lớp 9

Rút gọn biến đổi căn thức nâng cao

Leave a reply

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( \dfrac {\sqrt {x}-1}{\sqrt {x}+1} -\dfrac {\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\right).\left( \sqrt {x} -\dfrac {1}{\sqrt {x}}\right) $ với $x> 0$, $x \ne 1$

b) $\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$

c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$ với $a>0$, $a\ne 1$

d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $ với $x\ge 0$, $y\ge 0$, $xy\ne 1$

Giải

a) $\left( \dfrac{\sqrt x – 1}{\sqrt x + 1} – \dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x – 1} \right).\left( \sqrt x – \dfrac{1}{\sqrt x } \right)$

$= \dfrac{\left( \sqrt x – 1 \right)^2 – \left( \sqrt x + 1 \right)^2}{\left( \sqrt x + 1 \right)\left( \sqrt x – 1\right)}. \dfrac{x – 1}{\sqrt x } $

$ = \dfrac{ – 4\sqrt x }{x – 1}.\dfrac{x – 1}{\sqrt x } = – 4$

b)$\dfrac {15\sqrt {x}-11}{x+2\sqrt {x}-3} +\dfrac{3\sqrt {x}-2}{1-\sqrt {x}}-\dfrac {3}{\sqrt {x}+3}$

$=\dfrac {15\sqrt {x}-11}{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }-\dfrac{\left( 3\sqrt x-2\right) \left(\sqrt x+3\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }-\dfrac{3\left( \sqrt x-1\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right)}$

$=\dfrac{-3x+5\sqrt x-2}{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right) }=\dfrac{-\left( \sqrt x-1\right) \left( 3\sqrt x-2\right) }{\left( \sqrt x-1\right) \left( \sqrt x+3\right)} =\dfrac{2-3\sqrt x}{\sqrt x+3}$

c) $\left( {\dfrac{\sqrt a }{\sqrt a – 1} – \dfrac{1}{a – \sqrt a }} \right):\left( {\dfrac{1}{\sqrt a + 1} + \dfrac{2}{a – 1}} \right)$

$=\dfrac{a-1}{\sqrt a\left( \sqrt a-1\right) }:\dfrac{\sqrt a-1+2}{\left( \sqrt a+1\right) \left( \sqrt a-1\right) }$

$=\dfrac{a-1 }{\sqrt a\left( \sqrt a-1\right) }.\dfrac{\left( \sqrt a+1\right) \left( \sqrt a-1\right) }{\sqrt a+1}=\dfrac{a-1}{\sqrt a}$

d) $\left( \dfrac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt {xy}}+\dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt {xy}}\right) :\left( \dfrac{ x+y+2xy}{1-xy}+1\right) $

$=\dfrac{\left( \sqrt x-\sqrt y\right) \left( 1-\sqrt {xy}\right) +\left( \sqrt x+\sqrt y\right) \left( 1+\sqrt {xy}\right) }{\left( 1+\sqrt {xy}\right) \left( 1-\sqrt {xy}\right) }:\dfrac{ x+y+xy+1}{1-xy}$

$=\dfrac{2\sqrt x+2y\sqrt x}{1-xy}.\dfrac{1-xy}{x+y+xy+1}$

$=\dfrac{2\sqrt x\left( y+1\right) }{\left( x+1\right) \left( y+1\right) }=\dfrac{2\sqrt x}{x+1}$

Ví dụ 2: Chứng minh với mọi giá trị của $x$ để biểu thức có nghĩa thì giá trị của:

$A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$

không phụ thuộc vào $x$.

Giải

$A=\left( \dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x-2}+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{\sqrt x+3}{2\sqrt x+2}\right) .\dfrac{4x-4}{5}$

$A=\dfrac{\left( \sqrt x+1\right)^2+3.2-\left( \sqrt x+3\right) \left( \sqrt x-1\right) }{2\left( \sqrt x+1\right) \left( \sqrt x-1\right) }.\dfrac{4x-4}{5}$

$A=\dfrac{9}{2\left( x-1\right) }.\dfrac{4\left( x-1\right) }{5}=\dfrac {18}{5}$

Vậy biểu thức $A$ không phụ thuộc vào $x$.

Ví dụ 3: Cho biểu thức $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $

a) Chứng minh $A=\sqrt {1-x}$.

b) Tính $x$ khi $A=\dfrac{1}{2}$.

Giải

a) $A=\left( 1:\dfrac{\sqrt {1+x}}{3}+\sqrt {1-x}\right) :\left( \dfrac {3}{\sqrt {1-x^2}}+1\right) $

$A=\left( \dfrac {3}{\sqrt {1+x}}+\sqrt {1-x}\right) :\dfrac {3+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1-x^2}}$

$A=\dfrac {3+\sqrt {1-x^2}}{\sqrt {1+x}}.\dfrac {\sqrt {1-x^2}}{3+\sqrt {1-x^2}}$

$A=\dfrac {\sqrt {1-x}.\sqrt {1+x}}{\sqrt {1+x}}=\sqrt {1-x}$

Vậy $A=\sqrt {1-x}$

b) $A=\dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow \sqrt {1-x}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 1-x=\dfrac {1}{4}$

$\Rightarrow x=\dfrac {3}{4}$ $(n)$

Vậy $x=\dfrac {3}{4}$

Bài tập:

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( 2+\dfrac {a-\sqrt a}{\sqrt a-1}\right) \left( 2-\dfrac {a+\sqrt a}{\sqrt a+1}\right) $ với $a\ge 0$, $a\ne 1$

b) $\left( \dfrac {y}{\sqrt y}-\dfrac {\sqrt y}{\sqrt y+1}\right) :\dfrac {\sqrt y}{y+\sqrt y}$ với $y>0$

c) $\left( \dfrac {x\sqrt x+1}{x\sqrt x+x+\sqrt x+1}-\dfrac {\sqrt x}{x+1}\right) :\dfrac {\sqrt x-1}{x+1}$ với $x\ge 0$, $x\ne 1$

d) $\left( \dfrac {1}{\sqrt x}-\dfrac {1}{x}\right):\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {\sqrt x+2}{\sqrt x-1}\right) $ với $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne 4$

e) $\dfrac {\sqrt x+7x+13}{x+3\sqrt x-10}+\dfrac {\sqrt x+5}{2-\sqrt x}-\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x+5}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$

f) $\left( \dfrac {\left( 16-\sqrt a\right) \sqrt a}{a-4}+\dfrac {3+2\sqrt a}{2-\sqrt a}-\dfrac {2-3\sqrt a}{\sqrt a+2}\right) :\dfrac {1}{a+4\sqrt a+4}$ với $a\ge 0$, $a\ne 4$

Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $x$, $y$

$A=\dfrac {\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}-\dfrac {x\sqrt x-y\sqrt x}{x+y}.\left( \dfrac {\sqrt x}{\left( \sqrt x-\sqrt y \right)^2}-\dfrac {\sqrt y}{x-y}\right) $

Bài 3: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\dfrac {2}{x-4}\right) \left( \sqrt x-1+\dfrac {\sqrt x-4}{\sqrt x}\right) $

a) Chứng minh $P=\sqrt x+3$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $P=x+3$.

Bài 4: Cho biểu thức $P=\dfrac {3x+\sqrt x}{x+\sqrt x}+\dfrac{ 3\left( x-\sqrt x+1\right) }{x\sqrt x+1}$ với $x>0$

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Chứng minh $P<4$.

Bài 5: Cho biểu thức $P=\left( \dfrac {\sqrt x}{2}-\dfrac {1}{2\sqrt x}\right) \left( \dfrac {x-\sqrt x}{\sqrt x+1}-\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x-1}\right) $

Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P>-6$.

Rút gọn biến đổi căn thức chứa biến và các bài toán liên quan

Leave a reply

Ví dụ 1: Cho biểu thức:

$P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

a) Rút gọn $P$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Giải

a) $P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

$P=\dfrac {2\sqrt x\left( \sqrt x-3\right) +\sqrt x\left( \sqrt x+3\right) -3x-3}{\left( \sqrt x-3\right) \left( \sqrt x+3\right) }:\dfrac {2\sqrt x-2-\sqrt x+3}{\sqrt x-3}$

$P=\dfrac {-3\sqrt x-3}{\left( \sqrt x+3\right) \left( \sqrt x-3\right) }.\dfrac {\sqrt x-3}{\sqrt x+1}$

$P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}\ge -3$, $\forall x\ge 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-3$  khi $x=0$

Ví dụ 2: Cho biểu thức:

$M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $ ($x>0$, $x\ne 4$)

a) Rút gọn $M$.

b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.

Giải

a) $M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $

$M=\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) -x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }:\dfrac {2\sqrt x-1-\sqrt x+2}{\sqrt x\left( \sqrt x-2\right)} $

$M=\dfrac {-2\sqrt x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }.\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) }{\sqrt x+1}$

$M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}=\dfrac {-2\left( \sqrt x+1\right) +2}{\sqrt x+1}=-2+\dfrac {2}{\sqrt x+1}$

$M$ nhận giá trị nguyên khi $\left( \sqrt x+1\right)  \in \{1;2\}$ ($x>0$, $ x\in \mathbb{Z}$)

Với  $\sqrt x+1=1 \Leftrightarrow x=0$  $(l)$

Với  $\sqrt x+1=2 \Leftrightarrow x=1$  $(n)$

Vậy với $x=1$ thì $M$ nhận giá trị nguyên là $-1$

Bài tập:

Bài 1: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {x^2-\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\dfrac {2x+\sqrt x}{\sqrt x}+\dfrac {2\left( x-1\right) }{\sqrt x-1}$

Rút gọn $P$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Bài 2: Cho biểu thức:

$A=\dfrac {15\sqrt x-11}{x+2\sqrt x-3}-\dfrac {3\sqrt x-2}{\sqrt x-1}-\dfrac {2\sqrt x+3}{\sqrt x+3}$

Rút gọn $A$ và tìm giá trị lớn nhất của $A$.

Bài 3: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {1}{\sqrt x-1}-\dfrac {x\sqrt x-\sqrt x}{x+1}\left( \dfrac {1}{x-2\sqrt x+1}+\dfrac {1}{1-x}\right) $

a) Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P=-\dfrac {2}{5}$.

b) Tìm $x$ nguyên để $\sqrt x$, $\dfrac {1}{P}$ cũng là số nguyên.

Bài 4:  Cho biểu thức:

$A=\left( \dfrac {1}{x+\sqrt x}-\dfrac {2-\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) :\left( \dfrac {1}{x}+x-2\right) $

Rút gọn biểu thức $A$. Tìm số chính phương $x$ để $3A$ là số nguyên.

Bài 5:  Cho biểu thức:

$A=\dfrac {7}{\sqrt x+8}$ và $B=\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}+\dfrac {2\sqrt x-24}{x-9}$ với $x\ge 0$, $x\ne 9$

a) Chứng minh $B=\dfrac {\sqrt x+8}{\sqrt x+3}$.

b) Tìm $x$ để biểu thức $P=A.B$ có giá trị là số nguyên$.

Bài 6:  Cho biểu thức:

$M=\left( 2+\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) \left( 1-2\sqrt x-x+\dfrac {1-x\sqrt x}{1-\sqrt x}\right) $

a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $M$ có nghĩa. Rút gọn biểu thức $M$.

b) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $P=\dfrac {2}{M}$ nhận giá trị là số nguyên.

Bài 7: Rút gọn biểu thức:

$T=\dfrac {2\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt {ab} +2\sqrt a-\sqrt b-2}-\dfrac {2-\sqrt {ab}}{\sqrt {ab}+2\sqrt a+\sqrt b+2}$

với $a, b\ge 0$, $a\ne 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $T$ khi $a$ là số tự nhiên khác $1$.

Trục căn thức ở mẫu

Leave a reply

Tính chất: Trục căn thức ở mẫu:

  • $\dfrac{1}{\sqrt A}=\dfrac {\sqrt A}{A}$.
  • $\dfrac {1}{\sqrt A-\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A+\sqrt B}{A-B}$.
  • $\dfrac {1}{\sqrt A+\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A-\sqrt B}{A-B}$.

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}$.

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}$.

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$.

Giải

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}=\dfrac {12 \sqrt 2 \sqrt 3}{5.3}=\dfrac {4\sqrt 6}{5}$

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}=\dfrac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}=\dfrac {3\left (\sqrt 5+\sqrt 2 \right ) }{5-2}=\sqrt 5+\sqrt 2$

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}=\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}$

$=\dfrac{{3\sqrt 2 – 3 + \sqrt 6 – \sqrt 3 }}{{2 – 1}} + \dfrac{{6 + 4\sqrt 2 }}{{4 – 2}}$

$=3\sqrt 2 – 3 +\sqrt 6 – \sqrt 3 + 3 + 2\sqrt 2 =5\sqrt 2-\sqrt 3+\sqrt 6$

Bài tập:

Bài 1:  Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{7}{\sqrt 3 }$; $\dfrac{3}{2\sqrt 5 }$; $\dfrac{5}{3\sqrt {12} }$; $\dfrac{2}{3\sqrt {20} }$.

b)$\dfrac{\sqrt 3 + 3}{5\sqrt 3 }$; $\dfrac{7 – \sqrt 7 }{\sqrt 7 – 1}$; $\dfrac{2}{\sqrt 5 + \sqrt 3 }$; $\dfrac{\sqrt 5 + 2}{\sqrt 5 – 2}$.

c) $\dfrac{y + a\sqrt y }{a\sqrt y }$; $\dfrac{b – \sqrt b }{\sqrt b – 1}$; $\dfrac{b}{5 + \sqrt b }$; $\dfrac{p}{2\sqrt p – 1}$.

Bài 2: Tính:

a) $\dfrac{1}{{2 – \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2 + \sqrt 5 }}$.

b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.

c) $\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 – \sqrt 3 }} – \dfrac{{2 – \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{2}{{\sqrt 3 – 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 – 2}} + \dfrac{{12}}{{3 – \sqrt 3 }}$.

Bài 3: Rút gọn:

a) $\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{{2\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 2}}$.

b) $\dfrac{{5\sqrt 2 – 2\sqrt 5 }}{{\sqrt {10} }} – \dfrac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}$.

c) $\dfrac{{\sqrt {15} – \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 – 2}} – \dfrac{1}{{2 – \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} – 1}} – \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} + 1}}$.

 

Căn bậc hai

Leave a reply

Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2=a$.

Ví dụ 1: 

a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$.

b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.

c) Căn bậc hai của $0$ là $0$.

Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^2=a$.

Kí hiệu $x=\sqrt a$.

Ví dụ 2:

a) $\sqrt 4=2$.

b) $\sqrt {36}=6$.

Tính chất 1: Với $a\ge 0$ thì:

  • $x=\sqrt a$ thì $x\ge 0$ và $x^2=a$. Hay $\sqrt a\ge 0$ và $\left (\sqrt a \right )^2=a$.
  • Nếu $x \ge 0$ và $x^2=a$ thì $x= \sqrt a$.

Tính chất 2: Cho $a$, $b$ là các số không âm. Khi đó $a<b \Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$

Ví dụ 3: So sánh các số:

a) $1$ và $\sqrt 2$.

b) $2$ và $\sqrt 5$.

c) $17$ và $\sqrt {290}$.

Giải

a) Ta có: $1<2 \Leftrightarrow 1<\sqrt 2$.

b) Ta có: $4<5 \Leftrightarrow 2<\sqrt 5$.

c) Ta có: $289<290 \Leftrightarrow 17<\sqrt {290}$.

Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:

a) $\sqrt x <2$.

b) $2<\sqrt x <4$.

Giải

a) Ta có:  Điều kiện $x \geq 0$, từ giả thiết $\sqrt x <2 \Leftrightarrow x<4$.

Do $x$ là số tự nhiên nên $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.

b) Ta có: $2< \sqrt x \Leftrightarrow 4<x$ và $\sqrt x <4 \Leftrightarrow x<16$

Vậy $4<x<16$ Do $x$ tự nhiên nên $x$ là các số tự nhiên từ 5 đến 15.

Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.

Giải

Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông ($x>0$).
Vậy diện tích hình vuông là $S_v=x^2$.
Diện tích hình chữ nhật là $S_{hcn}=4\cdot 9=36$.
Mà $S_v=S_{hcn}\Leftrightarrow x^2=36\Leftrightarrow x=\sqrt{36}=6$ hoặc $x=-\sqrt{36}=-6$. Do $x>0$ nên $x=6$.
Ta có chu vi hình vuông là $P_v=4\cdot x=4\cdot 6=24$.
Ta có chu vi hình chữ nhật là $P_{hcn}=2\cdot (9+4)=2\cdot 13=26$.
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.

Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của $A$, $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Biểu thức $\sqrt A$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.

Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.

a) $\sqrt {2x-1}$.

b) $\sqrt{4-3x}$.

c)$\sqrt {x^2}$.

Giải

a) $2x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

b) $4-3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac {4}{3}$

c) $x^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi $x$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$.

a) $\sqrt {x^2+4}$.

b) $\sqrt {x^2-4x+4}$.

c) $\sqrt {2x^2-4x+3}$.

Giải

a) Ta có: $x^2+4 \ge 0$ với mọi $x$ .

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

b) Ta có: $x^2-4x+4=\left ( x-2 \right ) ^2 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

c) Ta có: $2x^2-4x+3=2\left ( x^2-2x+1 \right )+1=2\left (x-1 \right )^2+1 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

Bài tập: 

Bài 1: Tính :

a) $\sqrt {81}$.

b) $\sqrt {225}$.

c) $\sqrt {0,49}$.

d) $\sqrt {12^2+5^2}$.

e) $-0,25\sqrt {(-0,4)^2}$.

Bài 2:  So sánh các căn sau:

a) $\sqrt {20}$ và $2\sqrt 5$.

b) $2\sqrt 3$ và $3\sqrt 2$.

c) $-7\sqrt 3$ và $-2\sqrt {10}$.

d) $\sqrt 3 -3\sqrt 2$ và $-4\sqrt 3 +5\sqrt 2$.

e) $2+\sqrt 2$ và $5-\sqrt 3$.

Bài 3:  Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:

a) $\sqrt {3x-2}$.

b) $\sqrt {4x^2-20x+25}$.

c) $\sqrt {\dfrac {-5}{9-5x}}$.

d) $\sqrt {x^2-4}$.

Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:

a) $\sqrt x=3$.

b) $\sqrt x +2=7$.

c) $\sqrt {x+1} -1=4$.

d) $\sqrt {x-1} =\sqrt {13}$.

 

 

 

 

Hệ thức trong tam giác vuông – Bài 1

Leave a reply

I. Lý thuyết và ví dụ

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

Đặt $BC = a, AC=b, AB =c, AH=h, BH=c’, CH=b’$. Khi đó:

  • $a.h  =bc = 2S_{ABC}$
  • $c^2 = c’.a$
  • $b^2 = b’.a$
  • $h^2 = b’.c’$
  • $\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c}$
  

Dạng 1. Các bài tính toán cơ bản

Ví dụ 1. Tính $a, b’,c’,h$ trong hình sau:

 

Gợi ý
 Tam giác vuông có cạnh huyền là $a$ nên:

  • $a^2 = 6^2 + 8^2 =100$
  • $a = 10 cm$ (vì $a > 0$)

Ta có

  • $ah = bc$
  • $10h = 6.8$
  • $h = \dfrac{24}{5} (cm) $.

 

  Ta có

  • $6^2 = c’.a$
  • $36  = c’.10$
  • $c’ = \dfrac{18}{5}(cm)$

Suy ra $b’ = a – c’ = 10 – \dfrac{18}{5} = \dfrac{32}{5} (cm)$

Ví dụ 2. Tính $b, b’,c$ trong hình sau:

Gợi ý

Tam giác $ABC$ có $h$ là độ dài đường cao, hình chiếu của $AB$ là $4$ nên:

  • $h^2 = 4.b$
  • $10^2 = 4b \Rightarrow b = 25 cm$.

Khi đó $a = b’+c’ = 4+ 25 = 29$.

  • $b^2 = b’.a$
  • $b^2 = 25.29$
  • $b^2 = 725$
  • $b = \sqrt{725} = 5\sqrt{29}$ (cm)(vì $b > 0$)

Và

  • $b.c = ha$
  • $5\sqrt{29}c = 10.29$
  • $c = 2\sqrt{29}$ (cm)

Ví dụ 3. Tính $c, h, b’$ trong hình sau:

 

Gợi ý

Với bài toán này, các độ dài cho trước có vẻ rời rạc và chưa tính được độ dài nào được ngay.

Nhưng ta có thể thấy $h, b’$ có liên hệ với $c’ = 4cm, b = 10cm$. Từ đó nghĩ đến cách lập hệ ẩn $h, b’$.

Giải

Ta có

  • $h^2  = 4b’$ (1)
  • $h^2 + b’^2 = (\sqrt{45})^2=45$ (2)
  • Từ (1), (2) suy ra $b’^2 = 45 – 4b’$
  • $b’^2+4b’-45 = 0$
  • $(b’-5)(b’+9) = 0$
  • $b’ = 9$ (cm) (do $b’ > 0$)

Khi đó  $h^2 = 4.5= 20$ hay $h = \sqrt{20}$ (cm).

Và $c^2 = 4^2 + (\sqrt{20})^2 = 36$, $c = 6$ (cm).

III. Bài tập

1.Tính các yếu tố còn lại trong hình đã cho.

Gợi ý
a. Tam giác vuông có $h$ là chiều cao và 2 cạnh góc vuông có độ dài là: $2cm$ và $4cm$ ta có:
$\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}}$ (Hệ thức lượng)
$\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{5}{{16}}$
$\dfrac{1}{h} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}$
$h = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5} (cm)$
Ta có: $h.\left( {c’ + b’} \right) = 4.2$
$\dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}\left( {b’ + c’} \right) = 8$
$\left( {b’ + c’} \right) = 2\sqrt 5 (cm) $
Và ${4^2} = c’.\left( {b’ + c’} \right)$
$16 = c’.2\sqrt 5 $
$c’ = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{5} (cm)$
Và ${2^2} = b’.\left( {b’ + c’} \right)$
$4 = b’.2\sqrt 5 $
$b’ = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} (cm) $		 b. Tam giác vuông có đường cao $h$ và hai cạnh góc vuông lần lượt là $c$ và $b$
Ta có: ${h^2} = 4.9$
${h^2} = 36$
$h = 6 (cm)$
Và ${c^2} = 4.\left( {4 + 9} \right)$
${c^2} = 52$
$c = 2\sqrt {13} (cm) $
${b^2} = 9.\left( {4 + 9} \right)$
${b^2} = 117$
$b = 3\sqrt {13} (cm) $
c.Tam giác vuông có đường cao có độ dài $4cm$ và hai cạnh hóc vuông có độ dài $5cm$ và $c$
Ta có: $\dfrac{1}{{{4^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{1}{{{5^2}}}$
$c = \dfrac{{20}}{3} (cm)$
Và $5.\dfrac{{20}}{3} = 4.(b’ + c’)$
$(b’ + c’) = \dfrac{{25}}{3} (cm) $Ta có: ${5^2} = b’.\left( {b’ + c’} \right)$
$b’ = 3(cm)$
Và ${c^2} = c’\left( {b’ + c’} \right)$
$c’ = \dfrac{{16}}{3}$
Hay $c’ = \dfrac{{25}}{3} – b’ = \dfrac{{25}}{3} – 3 = \dfrac{{16}}{3}$
2. Tính $x, y$ trong hình dưới đây:

Gợi ý

Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông có độ dài $3cm$
Suy ra cạnh huyền của tam giác đó có độ dài là: $3\sqrt 2 (cm) $ (Pytago)
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là $\sqrt 2 cm;3\sqrt 2 cm$
Khi đó: ${\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}$
$ \Rightarrow x + y = 2\sqrt 5 (cm) $
Ta có: ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = y.\left( {x + y} \right)$
$y = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$
Và $x = 2\sqrt 5 – \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{9\sqrt 5 }}{5}$

3. Tìm $x, y$ trong hình cho dưới đây.
Gợi ý

Ta có: ${3^2} = x.\left( {x + \frac{{16}}{5}} \right)$
$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{9}{5}(cm)(n)}\\
{x = – 5(cm)(l)}
\end{array}} \right.$
Và 4{y^2} = \dfrac{{16}}{5}\left( {\dfrac{{16}}{5} + x} \right)$
$\Rightarrow y = 4(cm)$

4.Tìm độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $25cm$ và đường cao ứng với cạnh huyền bằng $12 cm$.

Gợi ý
Gọi hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là $x, y$. Ta có $x + y = 25, xy = 12^2 = 144$. Giải ra được $x = 9, y = 16$.
Suy ra độ dài 2 cạnh là $15, 20 (cm)$.
5. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông biết đường cao bằng $4cm$ và độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $6cm$.
Gợi ý
Cạnh huyền là $12$. Làm tương tự bài 4.
6. Tính $x, y$ trong hình sau:

Gợi ý
Xét hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh lần lượt là $3cm$ và $4cm$
Khi đó đường chéo của hình chữ nhật có độ dài là $5cm$
Xét tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là $5cm$, $ycm$ và có chiều cao là $3cm$ ta có:
$\dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{5^2}}}$
$ \Rightarrow y = \dfrac{{15}}{4}(cm)$
Tương tự: $x = \dfrac{{20}}{3}(cm)$
7. Tìm $x, y$ là cạnh của hình chữ nhật biết $MN = 1$.
Gợi ý

Gọi hình chữ nhật đó là $ABCD$ với $N$ thuộc cạnh $CD$.
Ta có $AB // CD $
$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{DN}} = \dfrac{{AM}}{{MN}}$ (Ta- lét)
$\Rightarrow \dfrac{y}{{\dfrac{y}{2}}} = \dfrac{{AM}}{1}$
$\Rightarrow AM = 2$
$ \Rightarrow AN = AM + MN = 2 + 1 = 3$
Tam giác $ADN$ vuông tại $D$ ta có:
$D{N^2} = MN.AN$
$ \Rightarrow DN = \sqrt 3 $
Và $A{D^2} = AM.AN$
$AD = \sqrt 6 $
Vậy $ x = \sqrt 6$ và $ y = 2\sqrt 3$

8. (*) Cho tam giác $ABC$ vuông có đường cao $AH$, trung tuyến $BM$ và phân giác $CD$ đồng quy.

    •  (a). Chứng minh $BH = AC$.
    •  (b). Tính $AB, AC$ biết $BC = 10cm$.
Gợi ý
 a) Gọi O là giao điểm của $AH$; $BM$; $CD$
Áp dụng định lí Ceva vào trong tam giác ABC, ta có:
$\dfrac{{MA}}{{MC}}.\dfrac{{HC}}{{HB}}.\dfrac{{DB}}{{DA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{HB}} = \drac{{DA}}{{DB}}$
(Vì $M$ là trung điểm của $AC$)
Mà: $\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$ ( $CD$ là phân giác)
$\Rightarrow \dfrac{{HC}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow CH.CB = AC.HB$
Mặt khác: $CH.CB = A{C^2}$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$)
$\Rightarrow AC.HB = A{C^2} \Rightarrow BH = AC$		 b) Ta có: $A{C^2} = HC.BC$
$A{C^2} = (BC – BH).BC$
Mà: $ BH = AC$ ( câu a)
$\Rightarrow A{C^2} = (BC – AC).BC$
$ \Rightarrow AC = – 5 + 5\sqrt 5 (cm) $
Và $\Rightarrow AB = – 50 + 50\sqrt 5 (cm)$

Tứ giác nội tiếp

14 Replies

Định nghĩa:  Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Một tứ giác là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi:

  1. Tổng hai góc đối bằng $180^o$.
  2. Góc ngoài bằng góc đối trong.
  3. Hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. (a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $BDHE$ là tứ giác nội tiếp. (b) Chứng minh các tứ giác $BFEC$, $AEDC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

(a) Xét tứ giác $AEHF$ có $\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

Xét tứ giác $AEHF$ có $\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).\\ Xét tứ giác $BDHE$ có $\angle BDH + \angle BEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

(b) Xét tứ giác $BFEC$ có $\angle BFC = \angle BEC = 90^\circ$, suy ra tứ giác $BFEC$ nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh với một góc vuông).

Tương tự ta có $\angle AEC = \angle ADC = 90^\circ$, suy ra tứ giác AEDC nội tiếp.

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$ với $B, C$ là các tiếp điểm. $OA$ cắt $BC$ tại $H$. (a) Chứng minh rằng tứ giác $OBAC$ nội tiếp. (b) Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ sao cho $E$ nằm giữa $A$ và $D$. Chứng minh rằng $O, H, D, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

(a)Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại B và C nên $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$, suy ra $\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ$, nên tứ giác $OBAC$ nội tếp.

(b) Ta có $AB = AC$ (t/c tiếp tuyến) và $OB = OC$, suy ra $OA$ là trung trực của $BC$, suy ra $OA \bot BC$ tại $H$.

Tam giác $ABO$ vuông có $BH$ là đường cao nên $AH.AO = AB^2$. (1)

Mặt khác $\Delta ABD \backsim AEB (g.g)$, suy ra $AD.AE = AB^2$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AD.AE = AH.AO$, suy ra $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$.

Xét tam giác AHE và tam giác EDO có $\angle DAO$ chung và $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AE}{AO}$ nên $\Delta AHE \backsim \Delta ADO$, suy ra $\angle AHE = \angle ADO$, suy ra tứ giác $OHED$ nội tiếp.

Ví dụ 3.  Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H $ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng: (a) $AD.AB = AE.AC$. (b) Tứ giác $BDEC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

(a)  Tam giác $ABH$ vuông tại H có đường cao HD nên $AD.AB = AH^2$. (1)

Tam giác $ACH$ vuông tại H có đường cao $HE$ nên $AE.AC = AH^2$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD.AB = AE.AC$.

(b)  Từ $AD.AC = AE.AC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Xét tam giác $ADE$ và $ACB$ có $\angle BAC$ chung và $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ nên $\Delta ADE \backsim \Delta ACB$, suy ra $\angle ADE  = \angle ACB$.

Tứ giác $BDEC$ có $\angle ADE = \angle ACB$ nên là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong).

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DE$. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DE$.  (a) Chứng minh $\angle AED = \dfrac{180^\circ-\angle A}{2}$. (b) Chứng minh 4 điểm $I, E, M, C$ cùng thuộc một đường tròn. (c) Gọi $N$ là giao điểm của $CI$ và $DE$. Chứng minh 4 điểm $B, N, M, C$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

(a) Ta có $AD, AE$ là tiếp tuyến của $(I)$ nên $AD = AE$. Tam giác $ADE$ cân tại $A$, suy ra $\angle AED = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$.

(b) Ta có $AD, AE$ là tiếp tuyến của $(I)$ nên $AD = AE$. Tam giác $ADE$ cân tại $A$, suy ra $\angle AED = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$.

Ta có $\angle MIC = \angle IBC + \angle ICB = \dfrac{1}{2} (\angle B + \angle C) = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$. (1)\\ Theo câu a ta có $\angle MEC = \angle AED = \dfrac{180^\circ – \angle A}{2}$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\angle MIC = \angle MEC$, do đó tứ giác $IEMC$ nội tiếp.

(c) Tứ giác $IEMC$ nội tiếp suy ra $\angle IMC = \angle IEC = 90^\circ$.

Chứng minh tương tự ta có $\angle INC = 90^\circ$.

Tứ giác $BCMN$ có $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho $\angle BAD = \angle CAE$. Gọi $M, N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD, AE$; $P, Q$ là hình chiếu vuông góc của C trên $AD, AE$. Chứng minh 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $BC$.

Gợi ý

Ta có tứ giác $ABMN$ nội tiếp, suy ra $\angle AMN = \angle ABN = 90^\circ – \angle BAE$.(1)

Tứ giác $ACPQ$ nội tiếp, suy ra $\angle APQ = \angle ACP = 90^\circ – \angle CAD$.(2)

Ta lại có $\angle DAB = \angle CAE $ nên $\angle BAE = \angle CAD$.(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle AMN = \angle APQ$, suy ra tứ giác $MNPQ$ nội tiếp.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, ta có $BM||CP$ nên đường thẳng $d$ qua $I$ song song với $BM$ đi qua trung điểm của $MP$ mà $BM \bot MP$ nên đường thẳng $d$ là trung trực của $MP$. Vậy $IM = IP$.

Tương tự ta cũng có $IN  = IQ$.

Hơn nữa tứ giác $MNPQ$ là tứ giác nội tiếp khác hình thang nên $I$ chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Gọi $F$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMD$ và $AM$. Khi đó ta có $AM.AF = AD.AB = AE.AC$, suy ra $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MCE$.

Ta có $\angle MFB = \angle ADM = \angle AEM = \angle AFC$ và $\angle FMB = \angle AME = \angle ACF$, suy ra $\Delta FBM \backsim \Delta FAC \Rightarrow \dfrac{BF}{AF} = \dfrac{BM}{AC}$.

Mà $BF = CQ$, suy ra $\dfrac{BF}{AF} = \dfrac{CQ}{AC} \Rightarrow \dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$.

Xét tam giác $ABF$ và $ACQ$ có $\angle AFB = \angle ACQ$ (cùng bù với $\angle BDC$) và $\dfrac{BF}{CQ} = \dfrac{AF}{AC}$ nên $\Delta ABF \backsim \Delta ACQ$. Suy ra $\angle AQC = \angle ABF$.

Mặt khác $ABF = \angle CMF = 180^\circ – \angle AMC = 180^\circ – \angle APC$.

Nên $AQC = 180^\circ – \angle APC \Rightarrow \angle AQC + \angle APC = 180^\circ$, do đó tứ giác $APCQ$ là tứ giác nội tiếp.

Bài tập. 

  1. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: (a) $AD.AB = AE.AC$. (b) Tứ giác $BDEC$ là tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
  2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M$ là một điểm thuộc cung BC không chứa $A$. $AM$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $BEKM, CDKM$ là các tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
  3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ và trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $A$ trên $BM$. Chứng minh tứ giác $HDMC$ nội tiếp.[Gợi ý]
  4. Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH.Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC và $N$ là trung điểm đoạn thẳng CH. (a) Chứng minh rằng 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn. (b) $EF$ cắt $BC$ tại $K$, $AK$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh $AQFE, KQFB$ là các tứ giác nội tiếp. (c) Chứng minh 3 điểm $Q, H, M$ thẳng hàng.[Gợi ý]
  5. Hình bình hành $ABCD$ có góc tù $B$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng $DE$ vuông góc $AC, DF$ vuông góc $AB, DG$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $O, E, G, F$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
  6. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CD. AM cắt BN tại E, BN cắt DM tại F và DM cắt AN tại G. Chứng minh rằng tứ giác AEPF nội tiếp. [Gợi ý]
  7. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\angle A = 60^\circ$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh 5 điểm $B, C, H, I, O$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
  8. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính $AD$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AD$ cắt $CD, BD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh 4 điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn. [Gợi ý]
  9. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$ với $\angle A > 90^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $CD$ tại $E$; đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $CB$ tại $F$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EF$. (a) Chứng minh rằng 4 điểm $E,F , C, P$ cùng thuộc một đường tròn. (b) Chứng minh $P$ thuộc $(O)$ và $E, O, F$ thẳng hàng. [Gợi ý]
  10. Cho tam giác $ABC$ với $AB < AC$. Phân giác trong góc $A$ và trung trực đoạn $BC$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $ABDC$ là tứ giác nội tiếp. [Gợi ý]
  11. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$. (a) Chứng minh các tứ giác $KPEC, KPDB$ nội tiếp. (b) Chứng minh $K, D, E$ thẳng hàng. [Gợi ý]
  12. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua hai đỉnh $B, C$ và cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D$ và $E$. Gọi $M$ là giao điểm của $CD$ và $BE$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$ và $Q$ lá điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, C, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.[Gợi ý]