ĐỀ THI
Câu 1
Giải phương trình: $x^2-3 x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{x^4+x^2+1}$.
Câu 2
Cho $\mathrm{x}$ là số thực sao cho $\mathrm{x}^3-\mathrm{x}$ và $\mathrm{x}^4-\mathrm{x}$ đều là các số nguyên. Chứng minh $\mathrm{x}$ là số nguyên.
Câu 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $S=|x|+\left|\frac{2 x-1}{x+3}\right|$.
Câu 4
Gọi $\mathrm{R}, \mathrm{r}, \mathrm{p}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, nửa chu vi của tam giác $A B C$. Chứng minh:
$\operatorname{tg} \frac{\mathrm{A}}{2}\left(1+\cos \frac{\mathrm{A}}{2}\right)+\operatorname{tg} \frac{\mathrm{B}}{2}\left(1+\cos \frac{\mathrm{B}}{2}\right)+\operatorname{tg} \frac{\mathrm{C}}{2}\left(1+\cos \frac{\mathrm{C}}{2}\right) \geq \frac{\mathrm{p}(\mathrm{R}+\mathrm{r})+\mathrm{R}(4 \mathrm{R}+\mathrm{r})}{\mathrm{pR}}$
Câu 5
Trong mặt phẳng toạ độ $(\mathrm{Oxy})$, cho 3 đường thẳng có hệ số góc là $\frac{1}{\mathrm{~m}}, \frac{1}{\mathrm{n}}, \frac{1}{\mathrm{p}}$ với $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ là các số nguyên dương. Tìm $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ sao cho 3 đường thẳng đó tạo với trục hoành 3 góc có tổng số đo là $45^{\circ}$.
LỜI GIẢI
Câu 1
Giải phương trình: $x^2-3 x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{x^4+x^2+1}$.
Lời Giải
Ta có: $x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2-x^2=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)>0$ $x^2-3 x+1=2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)$
Đặt $t=\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}$. Ta xét phương trình: $2 t^2-m t-1=0\quad\quad\quad (1)$
Chú ý: Từ $t=\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}$
Ta có: $\left(\mathrm{t}^2-1\right) \mathrm{x}^2+\left(\mathrm{t}^2+1\right) \mathrm{x}+\mathrm{t}^2-1=0\quad\quad\quad (2)$
Và $\frac{\sqrt{3}}{3} \leq \mathrm{t} \leq \sqrt{3}$
a) Khi $\mathrm{m}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ thì (1) có hai nghiệm $\mathrm{t}=-\frac{3}{2 \sqrt{3}} ; \mathrm{t}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}$ Chỉ xét $\mathrm{t}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Lúc đó (2) có nghiệm $\mathrm{x}=1$
Vậy trường hợp này phương trình có một nghiệm là $\mathrm{x}=1$.
b) Nhận xét: Phương trình (1) có hai nghiệm $\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2$ mà $\mathrm{t}_1<0<\mathrm{t}_2$
Do đó phương trình $\left({ }^*\right)$ có tối đa hai nghiệm thực.
Trường hợp phương trình có một nghiệm thực là trường hợp (2) chỉ có một nghiệm thực.
Đó là các trường hợp sau:
1) $t=1:$ ta có $m=1$ và $x=0$
2) $t^2-1 \neq 0$ và $\Delta_t=0$. Ta có $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ hay $t=\sqrt{3}$.
Lúc đó: $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $x=1$ hay $m=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ và $x=-1$.
Tóm lại: phương trình có một số lẻ nghiệm thực khi và chỉ khi:
$\mathrm{M} \in[1 ; \frac{5 \sqrt{3}}{3} ;-\frac{\sqrt{3}}{3}]$
Câu 2
Cho $\mathrm{x}$ là số thực sao cho $\mathrm{x}^3-\mathrm{x}$ và $\mathrm{x}^4-\mathrm{x}$ đều là các số nguyên. Chứng minh $\mathrm{x}$ là số nguyên.
Dành cho bạn đọc
Câu 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $S=|x|+\left|\frac{2 x-1}{x+3}\right|$.
Lời Giải
Ta có các trường hợp sau:
Nếu $x<-3$ :
Khi $x<-3 \Rightarrow|x|>3$. Ta có $S=|x|+\left|\frac{2 x-1}{x+3}\right| \geq|x|>3$.
Vậy trong trường hợp này ta có $\mathrm{S}>3\quad\quad\quad\quad\quad (1)$
Nếu $-3<\mathrm{x}<0$ :
Ta có $S=|x|+\left|\frac{2 x-1}{x+3}\right| \geq\left|\frac{2 x-1}{x+3}\right|\quad\quad\quad (a)$
Mặt khác với $-3<x<0$ thì $\frac{2 x-1}{x+3}<0$; bởi vậy thay vào (a) ta có:
$S \geq-\frac{2 x-1}{x+3}=-2+\frac{7}{x+3}\quad\quad\quad\quad (b)$
Vì $-3<x<0 \Rightarrow 0<x+3<3 \Rightarrow \frac{1}{3}<\frac{1}{x+3} \Rightarrow \frac{7}{3}<\frac{7}{x+3}$
Đem kết quả này vào $(\mathrm{b})$ ta được:
$\mathrm{S} \geq-\frac{2 \mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+3}=-2+\frac{7}{\mathrm{x}+3}>-2+\frac{7}{3}=\frac{1}{3}$
Vậy trong trường hợp này ta có: $\mathrm{S}>\frac{1}{3}\quad\quad\quad\quad (2)$
Nếu $x>\frac{1}{2}$ :
Ta có $S=|x|+\left|\frac{2 x-1}{x+3}\right| \geq|x|>\frac{1}{2}$
Vậy trong trường hợp này ta có: $\mathrm{S}>\frac{1}{2}\quad\quad\quad\quad (3)$
Nếu $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ :
Trong trường hợp này $S=x-\frac{2 x-1}{x+3}=\frac{x^2+x+1}{x+3}$
Ta chứng minh $S \geq \frac{1}{3}$; nghĩa là chứng minh: $\frac{x^2+x+1}{x+3} \geq \frac{1}{3}\quad\quad (c)$
Ta có: $(\mathrm{c}) \Leftrightarrow 3 \mathrm{x}^2+3 \mathrm{x}+3 \geq \mathrm{x}+3 \Leftrightarrow 3 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$.
Vậy trong trường hợp $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ thì $S \geq \frac{1}{3}$; dấu bằng xảy ra khi $x=0$.
Bởi vậy trong trường hợp $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ thì $S$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{3}$ khi $x=0\quad\quad (4)$
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của S là $\frac{1}{2}$, đạt được khi $x=0$.
Câu 4
Gọi $\mathrm{R}, \mathrm{r}, \mathrm{p}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, nửa chu vi của tam giác $A B C$. Chứng minh:
$\operatorname{tg} \frac{\mathrm{A}}{2}\left(1+\cos \frac{\mathrm{A}}{2}\right)+\operatorname{tg} \frac{\mathrm{B}}{2}\left(1+\cos \frac{\mathrm{B}}{2}\right)+\operatorname{tg} \frac{\mathrm{C}}{2}\left(1+\cos \frac{\mathrm{C}}{2}\right) \geq \frac{\mathrm{p}(\mathrm{R}+\mathrm{r})+\mathrm{R}(4 \mathrm{R}+\mathrm{r})}{\mathrm{pR}}$
Dành cho bạn đọc
Câu 5
Trong mặt phẳng toạ độ $(\mathrm{Oxy})$, cho 3 đường thẳng có hệ số góc là $\frac{1}{\mathrm{~m}}, \frac{1}{\mathrm{n}}, \frac{1}{\mathrm{p}}$ với $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ là các số nguyên dương. Tìm $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ sao cho 3 đường thẳng đó tạo với trục hoành 3 góc có tổng số đo là $45^{\circ}$.
Lời Giải
Gọi $\alpha, \beta, \delta$ là 3 góc tạo bởi 3 đường thẳng đã cho với trục $O x$ trong hệ trục tọa độ trục chuẩn Oxy.
Ta có:
$\operatorname{tg}(\alpha+\beta+\delta)=\frac{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)+\operatorname{tg} \delta}{1-\operatorname{tg}(\alpha+\beta) \operatorname{tg} \delta}=\frac{\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}+\operatorname{tg} \delta}{1-\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \operatorname{tg} \delta}$
$=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg} \delta-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \delta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-\operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \delta-\operatorname{tg} \delta \operatorname{tg} \alpha}=\frac{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}-\frac{1}{\operatorname{mnp}}}{1-\frac{1}{m n}-\frac{1}{n p}-\frac{1}{p m}}$
$=\frac{\mathrm{mn}+\mathrm{np}+\mathrm{pm}-1}{\mathrm{mnp}-\mathrm{m}-\mathrm{n}-\mathrm{p}}$
Theo giả thiết $\alpha+\beta+\delta=45^{\circ}$ nên ta có
$m n+n p+p m-1=m n p-m-n-p$
hay $m n p-m n-n p-p m+m+n+p+1=2(m+n+p-1)$
Đặt $\mathrm{x} y=-\mathrm{m}-1 ; \mathrm{y}=\mathrm{n}-1 ; \mathrm{z}=\mathrm{p}-1$ ta có phương trình nghiệm nguyên không âm
$x y z=2(x+y+z+2)\quad\quad\quad\quad (1)$
Tả tìm cách giải phương trình này. Vì $x+y+z+2>0$ nên $x>0, y>0, z>0$. Không làm mất tính chất tổng quát ta giả sử $\mathrm{x} \geq \mathrm{y} \geq \mathrm{z}$.
Phương trình (1) tương đương với
$\frac{1}{x y}+\frac{1}{y z}+\frac{1}{z x}+\frac{2}{x y z}=\frac{1}{2}\quad\quad\quad\quad (2)$
Có 2 trường hợp:
1) Nếu $z \geq 3$ thì vế trái của phương trình (2) nhỏ hơn $\frac{3}{\mathrm{z}^2}+\frac{2}{\mathrm{z}^3} \leq \frac{1}{3}+\frac{2}{27}=\frac{11}{27}<\frac{1}{2}$ vậy phương trình không thỏa.
2) Nếu $z=2$ thì
$ 2 x y=2(x+y+4) $
$\Leftrightarrow x y-x-y+1=5 $
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=5 $
$\Leftrightarrow x-1=5 \text { và } y-1=1 $
$\Leftrightarrow x=6 \text { và } y=2 \text { suy ra } m=7, n=3, p=3$
3) Nếu $\mathrm{z}=1$ thì $\Leftrightarrow(x-2)(y-2)=10$
Điều này tương đương với
- hoặc $\mathrm{x}-2=5$ và $\mathrm{y}-2=2$
$\Leftrightarrow x=7$ và $y=4$ suy ra $\mathrm{m}=8, \mathrm{n}=5, \mathrm{p}=2$.
- hoặc $x-2=10$ và $y-2=1$
$\Leftrightarrow x=12$ và $y=3 \Leftrightarrow m=13, n=4$ và $p=2$.
Do tính chất đối xứng, các số $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ là cá c hoán vị của $(13 ; 4 ; 2) ;(8 ; 5 ; 2) ;(7 ; 3 ; 3)$