a) Điều kiện $x \geq 3$. Khi m = 2 ta có phương trình:

$\left( x^2 -2x -8 \right) \sqrt{x-3}=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=3 \,\, (n)\\ x=4 \,\, (n)\\ x=-2 \,\, (l) \end{array} \right. $

b) Ta có: $x^2 -mx-2m^2=0$

$\Delta = m^2 + 8m^2 =9m^2$, suy ra phương trình có nghiệm $x=2m$, $x=-m$

TH1: $x_1=2m$, $x_2 = -m$ ta có $4m^2=7m^2 +2 $ (VN)

TH2: $x_1=-m$, $x_2 =2m$ ta có $9m^2 = 7m^2 +2 \Leftrightarrow m=1, m=-1$

c) Điều kiện $x \ge 3$, phương trình $x^2 -mx – 2m^2 =0$ luôn có nghiệm $x_1$, $x_2$ và $x_1x_2 = -2m^2 \le 0$ nên không thể có hai nghiệm đều dương. Suy ra phương trình $(1)$ có nhiều nhất là hai nghiệm.

Điều kiện: $-2 \le x \le \dfrac{5}{2}$

$\sqrt{x+2}+\sqrt{5-2x} = 1+ \sqrt{6-x} $

$\Leftrightarrow x+2+5-2x + 2\sqrt{x+2}\sqrt{5-2x}=1+6-x+ 2\sqrt{6-x} $

$\Leftrightarrow \sqrt{\left( x+2 \right) \left( 5-2x \right) } = \sqrt{6-x}$

$\Leftrightarrow -2x^2 +x+10 =6-x $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \,\, (n) \\ x=2 \,\, (n) \end{array} \right. $

b) Từ (2) ta có $y= \dfrac{x+1}{x}$ thế vào (1) ta có:

$x^2 + \dfrac{\left( x+1 \right) ^2}{x^2} = \dfrac{2(x+1)}{x}+1 $

$\Leftrightarrow x^4 + x^2 +2x+1 = 2x(x+1) + x^2 $

$\Leftrightarrow x^4 -2x^2 +1 = 0 \Leftrightarrow x=1, x=-1 $ $

Với $x = 1, y = 2.$

Với $x = -1 , y = 0.$

a) $R = \left(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x^3}-1}{1-x}\right):\left(\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$

$= \left[ \dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1} – \dfrac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x} +1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\right] : \dfrac{ x-2\sqrt{x} + 1+ \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$= \left( \sqrt{x} +1 – \dfrac{x+\sqrt{x} +1}{\sqrt{x} -1}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{ x-\sqrt{x} + 1}$

$= \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{ x-\sqrt{x} + 1}$

$=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$

b) $R<1 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}<1 \Leftrightarrow \sqrt{x}< x-\sqrt{x}+1 \Leftrightarrow \left( \sqrt{x}-1 \right) ^2 >0$ (đúng vì $x \ne 1$).

Gọi số tổ viên là $x$ $(x>2)$, số tiền mỗi tổ đóng lúc đầu là $y$. Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} xy=72000 \\ (x-2)(y+3000)=72000 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=\dfrac{72000}{x} \ (1)\\ y+3000=\dfrac{72000}{x-2}\ (2) \end{array} \right.$

Lấy $(2) -(1)$ ta được: $\dfrac{72000}{x-2} – \dfrac{72000}{x}  =3000$

$\Leftrightarrow x^2 – 2x – 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=8 \, (n) \\ x=-6 \, (l) \end{array} \right. $

Vậy số người của tổ là $8$ người.

a) Tam giác $ACK$ vuông cân tại $C$, suy ra $AK = \dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a$

$\sin \angle{ABK} =\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB= \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

b) Ta có $\angle{AOC} = 2\angle{ABC}=120^\circ $ và $\angle{AHC}=2\angle{EHF} =180^\circ – \angle{BAC}=120^\circ $.

Suy ra $\angle{AHC}=\angle{AOC}$, suy ra $AHOC$ nội tiếp.

Do đó $\angle{OHC}=\angle{OAC}=30^\circ $

c) Ta có $\angle{AIC}=180^\circ – \angle{IAC}-\angle{ICA}$

$=180^\circ – \dfrac{1}{2}\left( \angle{BAC} + \angle{ACB} \right)$

$=120^\circ = \angle{AOC}$.

Do đó tứ giác $AIOC$ nội tiếp.

Vậy 5 điểm $A$, $H$, $I$, $O$, $C$ cùng thuộc đường tròn.

Gọi $D$ là điểm chính giữa cung $AC$.

Ta có $OAD$ và $OCD$ đều, suy ra $DA = DC = DO$, hay $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, và bán kính $DO =DA=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}= \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$