b) Phương trình $(1)$ tương đương với $\left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x^2 -5x +m-1=0 \,\, (2) \end{array}\right. $
Giả sử $x_1=1$ thì $x_2,x_3$ là nghiệm của $(2)$. Điều kiện phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương khác $1$, tương đương với:
Với $x=y$, thế vào $(2)$ ta có $x^2=2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\sqrt{2} \Rightarrow y=\sqrt{2} \\ x=-\sqrt{2} \Rightarrow y= -\sqrt{2} \end{array}\right. $
Với $x-y+\dfrac{1}{xy}=0 \Rightarrow x-y= -\dfrac{1}{xy}$
Ta có $-\dfrac{1}{xy} =xy-2 \Leftrightarrow xy=1 \Rightarrow x-y=-1$, ta có:
Bài 4. Có hai vòi nước $A$, $B$ cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi $C$ (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ để cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng $6$ giờ, hai vòi $A$, $B$ được mở; đến $7$ giờ vòi $C$ được mở; đến $9$ giờ thì đóng vòi $B$ và vòi $C$; đến $10$giờ $45$ phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi $B$ ngay từ đầu thì đến $13$ giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi $B$ là trung bình cộng lưu lượng vòi $A$ và $C$, hỏi một mình vòi $C$ tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?
Giải
Gọi $x$ là thời gian vòi $A$ làm đầy bể, $y$ là thời gian vòi $B$ làm đầy bể và $z$ là thời gian vòi $C$ làm cạn bể (hay đầy bể).
Ta có $\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}$
Ta có $\dfrac{19}{4x} + \dfrac{3}{y} -\dfrac{2}{z}=1$ và $\dfrac{7}{x}-\dfrac{2}{z} =1$. Từ đó ta có:
Bài 5. Cho tứ giác $ABCD$ nột tiếp đường tròn đường kính $AC$, $AC=2a$. Gọi $M$,$N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$, tam giác $ABD$ đều.
a) Tính $BC$ và $CN$ theo $a$.
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $CMN$, $MH$ cắt $CN$ tại $E$, $MN$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh năm điểm $B$, $M$, $K$, $E$, $C$ cùng thuộc một đường tròn $(T)$. Đường tròn $(T)$ cắt $BD$ tại $F$ ($F \ne B$), tính $DF$ theo $a$.
c) $KF$ cắt $ME$ tại $I$. Chứng minh $KM$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIF$. Tính góc $IND$.
Giải
a) Ta có $OB = OD$, $AB = AD$ nên $AO$ là trung trực của $BD$.
$\angle{BOC}=2\angle{BAC}=60^\circ $ nên tam giác $OBC$ đều, suy ra $BC=OC=a$.
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=a\sqrt{3}$ (vì $BC=CD=OC=a$), suy ra $DN=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
suy ra $CN=\sqrt{CD^2+DN^2} = \sqrt{a^2 + \dfrac{3}{4} a^2 } =\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$
b) Ta có $MN // BD$, suy ra $MN \bot AC$, suy ra $H$ thuộc $AC$.
Ta có $\angle{CBM} = \angle{CEM} =\angle{CKM} =90^\circ $ nên $B$, $C$, $M$, $K$, $E$ cùng thuộc đường tròn.
Ta có $\angle{KFB}=\angle{KCB} =\angle{ADB}$, suy ra $KF // AD$.
Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tam giác $PAD$ có $KF // AD $ mà $K$ là trung điểm của $AP$ suy ra $F$ là trung điểm $PD$. Suy ra $FD = \dfrac{1}{2} PD = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
c) Ta có $\angle{KMI}=\angle{KCE}$, $\angle{KCM}=\angle{KFM}$ và $\angle{KCE}=\angle{KCM}$ vì tam giác $CMN$ cân.
Do đó $\angle{KMI}=\angle{KFM}$. \hfill $(1)$
Vẽ tia tiếp tuyến $Mx$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MFI$.
Ta có $\angle{xMI}=\angle{IFM} $ \hfill $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\angle KMI = \angle xMI$, suy ra $Mx$ và $MK$ trùng nhau. Hay $MK$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MFI$.
Ta có $\triangle KMI \backsim \triangle KFM $, suy ra $KI.KF=KM^2 =KN^2$, suy ra $\triangle KIN \backsim \triangle KNF$, suy ra $\angle{KIN}=\angle{KNF}=90^\circ $, mà $KF // ND$, suy ra $\angle{IND} =90^\circ $.