a) $(3-x) \sqrt{(3+x) \left( 9+x^2 \right) }=4\sqrt{5(3-x)}$

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} 3-x \ge 0 \\ (x+3)\left( x^2 +9 \right) \ge 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow -3\le x \le 3$

Với điều kiện trên ta có:

$(3-x) \sqrt{(3+x) \left( 9+x^2 \right) }=4\sqrt{5(3-x)} $

$\Leftrightarrow \sqrt{3-x}\left( \sqrt{3-x}\sqrt{(3+x)\left( x^2+9 \right) }-4\sqrt{5} \right) =0 $

$\Leftrightarrow \sqrt{3-x}\left( \sqrt{81-x^4} – 4\sqrt{5} \right) =0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt{3-x}=0 \\ \sqrt{81-x^4}=4\sqrt{5} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=3 \\ x^4=1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=3\\ x=-1 \\ x=1 \end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{ 3; -1;1 \right\} $

b) Ta có $x>1 \Rightarrow \sqrt{4x-1}-1>0 \Rightarrow \sqrt{\left( 1-\sqrt{4x-1} \right) ^2 }=\sqrt{4x-1} -1 $

Do đó:

$\dfrac{(x+y)\left( x^3-y^3 \right) \sqrt{\left( 1-\sqrt{4x-1} \right) ^2}}{\left( 1-\sqrt{4x-1} \right) \left( x^2y^2+xy^3+y^4 \right) } =-6 $

$\Leftrightarrow \dfrac{(x+y)(x-y)\left( x^2 + xy+y^2 \right) }{y^2\left( x^2+xy+y^2 \right) } =6 $

$\Leftrightarrow x^2-y^2=6y^2 \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{y^2}=7 \Rightarrow \dfrac{x}{y}=-\sqrt{7}$ (do $x>1$, $y<0$)

a) $\left\{ \begin{array}{l} \left( x^2-y+2 \right) \left( \sqrt{\left( x^2 +9 \right) \left( y+7 \right)}-15 \right) =0 \ (1)\\ \sqrt{x^2+9}+\sqrt{y+7}=8 \ (2) \end{array}\right. $ (điều kiện $y\ge -7$)

$(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2=y-2 \\ \sqrt{\left( x^2+9 \right) \left( y+7 \right) } =15 \end{array}\right. $

Với $x^2=y-2$ thế vào $(2)$ ta có: $2\sqrt{y+7}=8\Leftrightarrow y=9 \Rightarrow x= \pm \sqrt{7}$

Ta có nghiệm $(x;y)$ là $\left( \sqrt{7};9 \right) $, $\left( -\sqrt{7};9 \right) $

Với $\sqrt{\left( x^2 +9 \right) \left( y+7 \right) }=15 $, đặt $u= \sqrt{x^2+9}$, $v=\sqrt{y+7}$ ($u,v \ge 0$) ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l} uv=15 \\ u+v=8 \end{array}\right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u=3 \\ v=5 \end{array}\right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} u=5 \\ v=3 \end{array} \right. $

Với $u=3$, ta có $x=0$, $v = 5$ ta có $y = 18$. Ta có nghiệm $(0;18)$

Với $u = 5$, ta có $x = 4$ hoặc $x = – 4$, $v = 3$ ta có $y = 2$.

Vậy hệ phương trình có $5$ nghiệm $\left( \sqrt{7};9 \right) $, $\left( -\sqrt{7};9 \right) $, $(0;18)$, $(4;2)$, $(-4;2)$.

b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $a$ là cạnh hình thoi. Tam giác $ABD$ đều nên $BD = AB = a$, $\angle{ABD}=60^\circ $.

$AO=AB \sin \angle{ABD} =AB \sin 60^\circ  = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AC=2AO=a\sqrt{3}$.

Ta có $S_{ABCD} =\dfrac{1}{2} AC.BD=18\sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}a\sqrt{3}\cdot a=18\sqrt{3}\Leftrightarrow a=6$ $(m)$, khi đó chu vi hình thoi là $4a=24$ $(m)$.

Hơn nữa $DA = DB = DC = a$ nên $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và bán kính bằng $6m$.

a) Khi m=-1 ta có phương trình:

$\dfrac{-x^2 -4x-3}{x+3}=0 \,\, (\text{dk: } x \ne -3) $ $\Leftrightarrow -x^2 -4x-3 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \,\,(n) \\ x=-3 \,\, (l) \end{array}\right. $

Vậy $S=\left\{ -1 \right\} $

b) $\dfrac{mx^2+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0$ $(1)$

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là phương trình $mx^2+(m-3)x+2m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-3$

$\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0 \\ \Delta = (m-3)^2 -4m(2m-1) >0 \\ m(-3)^2+(m-3)(-3)+2m-1 \ne 0 \end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 7m^2 +2m-9 <0 \\ m \ne -1 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne 0\\ m \ne -1 \\ -\dfrac{9}{7} < m < 1 \end{array}\right. $

Ta có $mx_2^2 + (m-3) x_2 +2m-1 =0 \Leftrightarrow m \left( 2+x_2 + x_2^2 \right) =3x_2 +1$

Do đó  $21x_1 + 7m \left( 2+ x_2 + x_2^2 \right) =58 \Leftrightarrow 21x_1 + 7(3x_2 +1 ) =58 $

$\Leftrightarrow 21 \left( x_1 +x_2 \right) =51 \Leftrightarrow x_1 + x_2 =\dfrac{17}{7} $

$\Leftrightarrow \dfrac{3-m}{m} = \dfrac{17}{7} \Leftrightarrow 21-7m =17m \Leftrightarrow m=\dfrac{7}{8} \,\, (n) $ $

Vậy $m=\dfrac{7}{8}$

a) Ta có $100=\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{\dfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}}{2} = \dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4} = \dfrac{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^2}{4} $

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right) ^2 =400 \Leftrightarrow \sqrt{a} +\sqrt{b}=20$

b) Khi $x$ tăng $a\% $ thì được $\left( 1+ \dfrac{a}{100} \right) x$, y giảm $m\% $ thì được $\left( 1- \dfrac{m}{100} \right) y$.

Do $x$, $y$ tỷ lệ nghịch nên ta có phương trình:

$xy= \left( 1+ \dfrac{a}{100} \right) x \left( 1- \dfrac{m}{100} \right) y $

$\Leftrightarrow 10000 = (100+a) (100-m)$

$\Leftrightarrow m= \dfrac{100a}{100+a}$

a) Gọi $T$ là trung điểm của $CD$, tam giác $CID$ vuông cân tại $I$ nên $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CID$.

Ta có $BE$ và $BC$ là hai tiếp tuyến của $T$ nên $BE = BC$, mà $BC = BA$ nên $BE = BA$ hay tam giác $ABE$ cân tại $B$.

Ta có $\angle{DEC}=90^0$, suy ra $DF \bot CE$ mà $CE \bot BT$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra $DF //BT$ mà $BF // DT $ nên $BFDT$ là hình bình hành, suy ra $BF = DT = a$. Suy ra $AF = a$

b) Ta có $PE$, $PD$ là tiếp tuyến của $(T)$ nên $PD = PE$.

Khi đó $BP = EB + EP = AB+PD=BC+PD$.

Gọi $K$ là trung điểm của $BP$, tam giác $APB$ vuông nên $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ và bán kính đường tròn bằng $\dfrac{1}{2} PB$.

Tứ giác $DPBC$ là hình thang vuông có $KT$ là đường trung bình, suy ra $KT = \dfrac{1}{2} (DP + BC) = \dfrac{1}{2} PB$ và $KT//PD$, suy ra $KT \bot CD$.

Do đó khoảng cách từ $K$ đến $CD$ bằng bán kính của $(K)$ nên $CD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$.

Ta có $TP$ và $TB$ là phân giác của $\angle{ETD}$ và $\angle{ETC}$ nên $\angle{BTP}$ vuông. Khi đó $EP. EB=TE^2$, suy ra $EP = \dfrac{TE^2}{BE} =\dfrac{a^2}{2a}=\dfrac{1}{2}a$

Khi đó $PD = PE =\dfrac{1}{2}a$, suy ra $PA =\dfrac{3}{2}a$. Suy ra $\dfrac{AP}{DP}=3$

c) Tứ giác $AEIF$ có $\angle{IEF}=\angle{DCI}=45^\circ =\angle{IAF}$ suy ra tứ giác $AEIF$ nội tiếp

Do đó $\angle{IEA}=\angle{IFA}=90^\circ $ và $EM$ là phân giác $\angle{CED}$

Khi đó $IM$ là đường kính và $M$ là điểm chính giữa cung $CD$ của $T$

Suy ra $\angle{ICM}=90^0$, $CM=CI=a\sqrt{2}$.

Khi đó $AM^2 = AC^2 + CM^2 = 8a^2 +2a^2 =10a^2 \Rightarrow AM = a\sqrt{10}$.