1. Phương trình một ẩn
Định nghĩa: Một phương trình với ẩn $x$ có dạng $A(x)=B(x)$, trong đó vế trái là $A(x)$ và vế phải là $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến.
Ví dụ: $ 2(x+1)+6 = 4x$ là phương trình ẩn $x$.
Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,… nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.
2. Phương trình tương đương
Định nghĩa: Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm.
Ví dụ: $ x+3 = 0 \Leftrightarrow x=-3$
3. Phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: Phương trình có dạng $ax+b=0$, với $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \ne 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ: $2x+1=0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.
4. Hai quy tắc biến đổi phương trình
- Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số:
- Trong cùng một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác $0$.
- Trong cùng một phương trình, ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác $0$.
5. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$
Phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$, được giải theo các bước sau:
- Chuyển vế $ax=-b$
- Chia hai vế cho $a$, ta được: $x=- \dfrac{b}{a}$
- Kết luận nghiệm $S= \left \{ \dfrac{-b}{a} \right \}$
Tổng quát phương trình $ax+b=0$ $(a \ne 0)$ được giải theo các bước sau:
$ ax+b=0 $
$ \Leftrightarrow ax=-b $
$\Leftrightarrow a= \dfrac{-b}{a} $
Vậy $S= \left \{ \dfrac{-b}{a} \right \}$
6. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) $2x-1 =1$
b) $x-7 = 4 $
c) $7x-35=0$
d) $ 4x-x -18=0$
Giải
a) $2x-1 =1 \Leftrightarrow 2x=2 \Leftrightarrow x=1 $6
Vậy $ S= \{1 \}$
b) $x-7 = 4 \Leftrightarrow x=11 $
Vậy $ S= \{11 \}$
c) $7x-35=0 \Leftrightarrow 7x = 35 \Leftrightarrow x=5 $
Vậy $ S= \{5 \}$
d) $4x-x -18=0 \Leftrightarrow 3x = 18 \Leftrightarrow x = 6$
Vậy $ S= \{6 \}$
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) $x-6=8-x$
b) $3x-2=2x-3$
c) $7-2x = 22-3x$
d) $x-12-4x=25+3x-1$
e) $2x-1+2(2+x)=1$
f) $2(x+3)=2(4-x)+14$
Giải
a) $x-6=8-x$
$\Leftrightarrow 2x=14$
$\Leftrightarrow x= 7 $
Vậy $ S = \{ 7 \}$
b) $3x-2=2x-3$
$\Leftrightarrow x = -1 $
Vậy $ S = \{ -1 \}$
c) $7-2x = 22-3x$
$\Leftrightarrow x = 15 $
Vậy $ S = \{ 15 \}$
d) $x-12-4x=25+3x-1$
$\Leftrightarrow -6x = 36$
$\Leftrightarrow x= -6 $
Vậy $ S = \{ -6 \}$
e) $2x-1+2(2+x)=-1$
$\Leftrightarrow 2x-1 +4+2x = 1$
$\Leftrightarrow \ 4x = -4$
$\Leftrightarrow x = -1 $
Vậy $ S = \{ -1 \}$
f) $2(x+3)=2(4-x)+14$
$\Leftrightarrow 2x+6 = 8-2x +14$
$\Leftrightarrow 4x = 16$
$\Leftrightarrow x= 4 $
Vậy $ S = \{ 4 \}$
Ví dụ 3:
a) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $2x-2m=x+9$ nhận $x=-5$ là nghiệm.
b) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $4x+m^2=24 $ nhận $x=5$ là nghiệm.
c) Giải và biện luận nghiệm của phương trình $2(mx+5)+4(x+m)=m$ theo $m$.
Giải
a) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $2x-2m=x+9$ nhận $x=-5$ là nghiệm.
Thay $x=-5$ vào phương trình, ta được:
$2(-5) -2m = -5 +9 $
$\Leftrightarrow -2m = 14$
$\Leftrightarrow m = -7 $
Vậy $m=-7$ là giá trị cần tìm.
b) Tìm giá trị của $m$ sao cho phương trình $4x+m^2=24$ nhận $x=5$ là nghiệm.
Thay $x=5$ vào phương trình, ta được:
$ 4 \cdot 5 +m^2 = 24$
$\Leftrightarrow m^2 = 4$
$\Leftrightarrow m = \pm 2 $
Vậy $m=2$ và $m=-2$ là giá trị cần tìm.
c) Giải và biện luận nghiệm của phương trình $2(mx+5)+4(x+m)=m$ theo $m$.
Ta có:
$2(mx+5)+4 (x+m)=m $
$\Leftrightarrow 2mx+10 +4x+4m = m $
$\Leftrightarrow (2m+4)x=-3m -10 $
Biện luận:
- Nếu $2m+4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne -2 \Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $ x=\dfrac{-3m-10}{2m+4}$
- Nếu $2m+4 =0 \Leftrightarrow m = -2 \Rightarrow $ Phương trình có dạng $ 0x = -4 \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
- Với $m \ne -2$, phương trình có tập nghiệm $S=\left \{ \dfrac{-3m-10}{2m+4} \right \}$
- Với $m=-2$, phương trình vô nghiệm hay $S = \{ \varnothing \}$
7. Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) $ 12-6x = 0$
b) $ 3x+3=-3$
c) $ 4x+6 = 14$
d) $ x-7x -18 = 6$
e) $ 3x+ 9 – 6x =27 $
f) $ 2x+x+120 = -3 $
Đ/A:
a) $x = 2$
b) $ =-2$
c) $ x= 2$
d) $x=-4 $
e) $ x= – 6$
f) $x=-41$
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) $x – 5 = 3 – x $
b) $ 7 – 3 x = 9 – x $
c) $ \frac{-5}{9} x + 1 = \frac{2}{3} x – 10 $
d) $ 2 (x + 1) = 6 – 2 x $
e) $ 11 – 8 x – 3 = 5 x – 20 + x $
f) $ 3 – 4 y + 24 + 6 y = y + 27 + 3 y $
g) $ x + 2 x + 3 x = 3 x + 9 $
h) $ 4 – 2 x + 15 = – (9 x + 1 – 2 x) $
Đ/A:
a) $ x = 4 $
b) $ x = -1 $
c) $ x = 9 $
d) $ x = 1 $
e) $ x = 2 $
f) $ x = 0 $
g) $ x = 3 $
h) $ x = -4 $
Bài 3:
a) Tìm giá trị của $m$, biết rằng phương trình $5x+2m=22 $ nhận $ x = 2$ làm nghiệm.
b) Tìm $m$ để phương trình $(m^2-m)x=2x+m^2-1$ có nghiệm duy nhất.
c) Tìm $m$ để phương trình $m(4mx-3m+2)=x(m+3)$ có nghiệm duy nhất.
d) Tìm $m$ để phương trình $ m^2(x-m)=x-3m+2$ vô nghiệm.
Đ/A:
a) $ m = 6 $
b) $ m \ne -1 $ và $ne m \ne 2 $. Tập nghiệm $ S = \left \{ \dfrac{m-1}{m-2} \right \} $
c) $ m \ne 1 $ và $ m \ne \dfrac{-3}{4} $. Tập nghiệm $ S = \left \{ \dfrac{3m^2-2m}{4m^2-m-3} \right \} $
d) $ m = \pm 1 $
Bài 4: Giải và biện luận phương trình sau, với $m$ là tham số:
a) $ (2m-4)x+2-m=0$
b) $ (m+1)x=(3m^2-1)x+m-1$
Đ/A:
a)
Nếu $m = 2$ thì phương trình có vô số nghiệm
Nếu $ m \ne 2 $ thì phương trình có tập nghiệm $ S = \left \{\dfrac{1}{2} \right \} $
b)
Nếu $ m = 1 $, phương trình vô số nghiệm
Nếu $ m = \dfrac{-2}{3} $, phương trình vô nghiệm
Nếu $ m \ne 1 $ và $ m \ne \dfrac{-2}{3} $, phương trình có nghiệm duy nhất với tập nghiệm $ S = \left \{ \dfrac{-1}{3m+2} \right \} $