1. Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng khi phương trình chứa một biểu thức lặp đi lặp lại nhiều lần, việc đặt ẩn phụ đưa phương trình về một phương trình đơn giản hơn, hoặc là đưa về dạng phương trình đã biết cách giải. Có rất nhiều dạng đặt ẩn phụ với nhiều dạng toán khác nhau, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những dạng bài tập phù hợp nhất với chương trình trung học cơ sở, không đi sâu quá vào các ẩn phụ mẹo mực khác.
Chú ý. Khi đặt ẩn phụ thì nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ để giảm được các trường hợp cần xét.
Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{x^2-x+3}-\sqrt{-x^2+x+2}=1$.
Giải
Đặt $t=\sqrt{-x^2+x+2}, t \ge 0$. Khi đó $t^2=-x^2+x+2 \Leftrightarrow x^2-x+3=5-t^2.$
Phương trình trở thành
$ \sqrt{5-t^2}-t=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{5-t^2}=t+1$
$\Leftrightarrow 5-t^2 = (t+1)^2$
$\Leftrightarrow t^2+t-2=0$
$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=-2(l)$
$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+x+2}=1$
$\Leftrightarrow x^2-x-1=0$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$
Ví dụ 2: Giải phương trình $2x^2-6x+7=5\sqrt{x^2-3x+5}$.
Giải
Đặt $t=\sqrt{x^2-3x+5}, t \ge 0$.
Khi đó phương trình trở thành
$2t^2-3=5t$
$\Leftrightarrow 2t^2-5t-3=0$
$\Leftrightarrow t=3 \ \text{hoặc}\ t=-\dfrac{1}{2}(l)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-3x+5}=3$
$\Leftrightarrow x^2-3x-4=0$
$\Leftrightarrow x=-1 \ \text{hoặc} \ x=4. $
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-1$ hoặc $x=4.$
Ví dụ 3: Giải phương trình $(x-1)^2+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=12$.
Giải
Điều kiện $\dfrac{x-3}{x+1} \ge 0 \Leftrightarrow x<-1$ hoặc $x \ge 3.$
Khi đó phương trình tương đương
$(x^2-2x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8$
$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)+2(x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=8.$
Đặt $t=(x+1) \sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}} \Rightarrow t^2=(x+1)(x-3)$.
Khi đó phương trình trở thành $t^2+2t-8=0 \Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-4.$
Trường hợp $t=2 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=2$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ (x+1)(x-3) =4 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1\\ x^2-2x-7=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}.$
Trường hợp $t=-4 \Leftrightarrow (x+1)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}=-4$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ (x+1)(x-3) =16 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1\\ x^2-2x-19=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=1-2\sqrt{5}.$
Thử lại ta nhận $x=1+2\sqrt{2}$ và $x=1-2\sqrt{5}$ là hai nghiệm của phương trình.
Trên đây là các phương trình mà ta thấy rõ được biểu thức $f(x)$ lặp đi lặp lại, trong một số trường hợp khác $f(x)$ không xuất hiện một cách tường mình, mà phải thông qua một số biến đổi thì mới xuất hiện. Ta xem các ví dụ sau:
Ví du 4: Giải phương trình $x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$.
Giải
Điều kiện $x-\dfrac{4}{x} \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x <0 $ hoặc $x \ge 2.$
Khi đó phương trình
$x^2+3x\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10x+4$
$\Leftrightarrow x+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=10+\dfrac{4}{x}$
$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}+3\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}-10=0.$
Đặt $t=\sqrt{x-\dfrac{4}{x}}, t \ge 0$. Phương trình trở thành:
$ t^2+3t-10=0$
$\Leftrightarrow t=2 \ \text{hoặc} \ t=-5(l)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-\dfrac{4}{x}}=2$
$\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}=4$
$\Leftrightarrow x^2-4x-4=0$
$\Leftrightarrow x=2\pm 2\sqrt{2}.$
So sánh với điều kiện ta được phương trình có hai nghiệm $x=2 \pm 2\sqrt{2}.$
Ví dụ 5: Giải phương trình $\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}=3\sqrt[4]{1-x^2}$
Giải
Điều kiện $-1 \le x \le 1.$
Dễ thấy $x=1$ không là nghiệm của phương trình. Xét $x \ne 1.$
Khi đó phương trình tương đương $\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+2=3\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}.$
Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}$, phương trình trở thành
$t^2-3t+2=0$
$\Leftrightarrow t=1 \ \text{hoặc} \ t=2.$
- Trường hợp $t=1 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=1 \Leftrightarrow x=0.$
- Trường hợp $t=2 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\dfrac{1+x}{1-x}}=2 \Leftrightarrow \dfrac{1+x}{1-x}=16 \Leftrightarrow x=\dfrac{15}{17}.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ hoặc $x=\dfrac{15}{17}.$
Trong một số trường hợp phức tạp hơn, ta đặt ẩn phụ một biểu thức, và tính các biểu thức còn lại theo ẩn phụ. Ta xem ví dụ sau:
Ví dụ 6: Giải phương trình $\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}+2\sqrt{22+9x-x^2}=17$.
Giải
Điều kiện $-2 \le x \le 11.$
Đặt $t=\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}, t \ge 0$. Khi đó
$t^2=13+2\sqrt{(11-x)(x+2)}$
$\Rightarrow 2\sqrt{22+9x-x^2}=t^2-13.$
Phương trình trở thành
$t+t^2-13=17$
$\Leftrightarrow t^2+t-30=0$
$\Leftrightarrow t=5 \ \text{hoặc} \ t=-6(l).$
$\Leftrightarrow \sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}=5$
$\Leftrightarrow \sqrt{22+9x-x^2}=6$
$\Leftrightarrow x^2-9x+14=0$
$\Leftrightarrow x=2 \ \text{hoặc} \ x=7.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ hoặc $x=7.$
Sau đây là cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình thành một phương trình hai ẩn, từ đó giải ẩn này theo ẩn kia để thiết lập một phương trình đơn giản hơn phương trình đã cho.
Ví dụ 7: Giải phương trình $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$.
Giải
Ta có $x^2+16x-16=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$
$\Leftrightarrow 4(2x+1)^2-5(3x^2+4)=(2x+1)\sqrt{3x^2+4}$
Đặt $\begin{cases} a=2x+1&\\ b=\sqrt{3x^2+4}, b \ge 2. \end{cases}$
Phương trình trở thành
$4a^2-5b^2=ab$
$\Leftrightarrow 4a^2-ab-5b^2=0$
$\Leftrightarrow a=-b \ \text{hoặc} \ a=\dfrac{5}{4}b.$
$ \sqrt{3x^2+4}=-(2x+1)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \le -\dfrac{1}{2}&\\ x^2+4x-3=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=-2-\sqrt{7}$
- Trường hợp $a=\dfrac{5}{4}b$ ta có:
$5\sqrt{3x^2+4}=4(2x+1)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{2}&\\ 11x^2-64x+84=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{42}{11} \ \text{hoặc} \ x=2.$
Vậy phương trình có các nghiệm $x=-2-\sqrt{7}, x=\dfrac{42}{11}$ hoặc $x=2.$
Ví dụ 8: Giải phương trình $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$.
Giải
Ta có $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{x^2+4x+5}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}=3\sqrt{-(x^2+1)+2(x^2+2x+3)}.$
Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x^2+1}, a \ge 1&\\ b=\sqrt{x^2+2x+3}, b \ge \sqrt{2}. \end{cases}$.
Phương trình trở thành:
$a+2b=3\sqrt{-a^2+2b^2}$
$\Leftrightarrow (a+2b)^2=9(-a^2+2b^2)$
$\Leftrightarrow 5a^2+2ab-7b^2=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(5a+7b)=0$
$\Leftrightarrow a=b$.
Khi đó ta có
$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+2x+3}$
$\Leftrightarrow x^2+1=x^2+2x+3$
$\Leftrightarrow x=-1$.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1.$
Ví dụ 9: Giải phương trình $\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x^2}=x-3$.
Giải
Điều kiện $-1 \le x \le 1$.
Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{x+1}, a \ge 1&\\b=\sqrt{1-x}, b \ge 0 \end{cases}$.
Khi đó $x-3=-a^2-2b^2$ và phương trình trở thành
$a-2b-3ab=-a^2-2b^2$
$\Leftrightarrow (a^2-3ab+2b^2)+(a-2b)=0$
$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b)+(a-2b)=0$
$\Leftrightarrow (a-2b)(a-b+1)=0$
$\Leftrightarrow a=2b \ \text{hoặc} \ b=a+1.$
$\sqrt{1+x}=2\sqrt{1-x}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le 1&\\ 1+x=4(1-x) \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}.$
- Trường hợp $b=a+1$ ta có:
$ \sqrt{1-x}=\sqrt{1+x}+1$
$\Leftrightarrow 1-x=x+2+2\sqrt{1+x}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{1+x}=-2x-1$
$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le -\dfrac{1}{2}&\\ 4(1+x)=(2x+1)^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le \dfrac{1}{2}&\\ x^2=\dfrac{3}{4} \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\dfrac{3}{5}$ hoặc $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ví dụ 10: Giải phươg trình $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$.
Giải
Điều kiện $x \ge 1.$
Khi đó $x^2+5x-3=2(2x+3)\sqrt{x-1}$
$\Leftrightarrow 3(x-1)-2(2x+3)\sqrt{x-1}+x^2+2x=0$
Đặt $t=\sqrt{x-1}, t \ge 0$. Ta được $3t^2-2(2x+3)t+x^2+2x=0.$
Đặt $\Delta’=(2x+3)^2-3(x^2+2x)=(x+3)^2.$
Do đó phương trình trên có hai nghiệm $t=x+2$ hoặc $t=\dfrac{x}{3}$.
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x+2$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2+3x+5=0 \end{cases} \ \text{(vô nghiệm)}.$
- Trường hợp $t=\dfrac{x}{3}$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=x$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1&\\ x^2-9x+9=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{9 \pm 3\sqrt{5}}{3}.$
Ngoài ra còn có cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 11: Giải phương trình: $\sqrt[3]{7+x} – \sqrt{2-x}=1$
Giải
Phương trình có nhiều dấu căn bậc khác nhau, và biểu thức trong căn lại có mối liên hệ khá rõ ràng.
Ta đặt $u = \sqrt[3]{7+x}, v = \sqrt{2-x}$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} u – v = 1\\ u^3 + v^2 = 9 \end{array} \right. $.
Sử dụng phương pháp thế ta có $\left\{ \begin{array}{l} v = u-1\\ u^3 + (u-1)^2 – 9 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=u-1\\ u^3+u^2-2u-8 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = 2\\ v = 1\end{array}\right. $.
Từ đó giải ra $x = 1$ là nghiệm.
2. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) $\sqrt{2x^2-4x+8} + \sqrt{2x^2-4x+3} = 5$
b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$
c) $(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$
d) $4x^2+10x+9=5\sqrt{2x^2+5x+3}$
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) $1+\dfrac{2}{3} \sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$
b) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$
c) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$
d)$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$.
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) $\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}=7$
b) $\dfrac{4x-1}{\sqrt{4x-3}}+\dfrac{11-2x}{\sqrt{5-x}}=\dfrac{15}{2}$
c) $\dfrac{3-x}{\sqrt{13-6x}}+\dfrac{3+x}{\sqrt{13+6x}}=2$
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) $2x^2+5x-1=7 \sqrt{x^3-1}$
b) $2(x^2+2)=5 \sqrt{x^3+1}$
c) $\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x+20}=5 \sqrt{x+1}$
d) $(x^2-6x+11) \sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7) \sqrt{x-2}$
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) $2 \sqrt{\dfrac{3x-1}{x}}=\dfrac{x}{3x-1}+1$
b) $(x+5)(2-x)=3 \sqrt{x^2+3x}$
c) $2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$
d) $(x+4)(x+1)-3 \sqrt{x^2+5x+6}+4=0$
e) $(x-1)(x+2)+2(x-1) \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=8$
f) $\sqrt[3]{\dfrac{2x}{x+1}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x}}=2$.
Like this:
Like Loading...
