Định lý 1. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Chứng minh. Trên tia $\mathrm{AC}$ xác định điểm ${\mathrm{B}}^{\prime }$ sao cho ${\mathrm{AB}}^{\prime }=$ $\mathrm{AB}$ (h.88) ‘ tam giác $\mathrm{ABB}$ ‘ là tam giác cân cạnh đáy $\mathrm{BB}$ ‘, từ đó suy ra : $\widehat{{\mathrm{ABB}}^{\prime }}=\widehat{{\mathrm{AB}}^{\prime }\mathrm{B}}$ (1).

Vì ${\mathrm{AB}}^{\prime }<\mathrm{AC}$ nên điểm ${\mathrm{B}}^{\prime }$ nằm giữa hai điểm $\mathrm{A}$ và $\mathrm{C}$, từ đó suy $\mathrm{ra}$ : – tia ${\mathrm{BB}}^{\prime }$ nằm giữa hai tia $\mathrm{BA}$ và $\mathrm{BC}$, do đó : $\widehat{\mathrm{ABC}}>\widehat{{\mathrm{ABB}}^{\prime }}$ (2)

• góc $\widehat{{\mathrm{AB}}^{\prime }\mathrm{B}}$ là góc ngoài ở đỉnh ${\mathrm{B}}^{\prime }$ của tam giác $\mathrm{BCB}$, do đó : $\widehat{\mathrm{AB}}\mathrm{B}>\hat{\mathrm{C}}$. (3)

Từ (1) và (2) ta suy $\mathrm{ra}\widehat{\mathrm{ABC}}>$ $>\widehat{{\mathrm{AB}}^{\prime }\mathrm{B}}(4)$; từ (3) và (4) ta suy ra : $\hat{\mathrm{B}}>\hat{\mathrm{C}}$. Đó là điều phải chứng minh.

Định lý 2. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Chứng minh.

Giả sử tam giác $\mathrm{△}\mathrm{ABC},\hat{\mathrm{B}}>\hat{\mathrm{C}}$.
Ta cần chứng minh: $\mathrm{AC}>\mathrm{AB}$.
Chứng minh : Giả sử $AC=AB$, tam giác $ABC$ là tam giác cân cạnh đáy $\mathrm{BC}$, do đó $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$; đó là điều trái với giả thiết.

Giả sử $\mathrm{AC}<\mathrm{AB}$, theo định lí 1 , thì ta có $\hat{\mathrm{B}}<\hat{\mathrm{C}}$, đó cũng là điều trái với giả thiết.
Do đó $\mathrm{AC}>\mathrm{AB}$.

Hệ quả 1. Trong một tam giác vuông, cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) là cạnh có độ dài lớn nhất.

Ví dụ 1.

a) So sánh các góc của tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\mathrm{AB}=4\mathrm{cm},\mathrm{BC}=7\mathrm{cm},\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}$.
b) So sánh các cạnh của tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\hat{\mathrm{A}}={50}^{\circ },\hat{\mathrm{C}}={50}^{\circ }$.

Ví dụ 2.  Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\hat{\mathrm{A}}={100}^{\circ },\hat{\mathrm{B}}={40}^{\circ }$.
a) Tim cạnh lớn nhất của tam giác $\mathrm{ABC}$.
b) Tam giác $\mathrm{ABC}$ là tam giác gi? Vì sao?

Ví dụ 3. Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$ có $\hat{\mathrm{B}}>{45}^{\circ }$.
a) So sánh các cạnh của tam giác.
b) Lấy điểm $\mathrm{K}$ bất ki thuộc đoạn thẳng $\mathrm{AC}$. So sánh độ dài $\mathrm{BK}$ và $\mathrm{BC}$.

Bài tập 

1. So sánh các góc của tam giác $\mathrm{ABC}$ biết rằng $\mathrm{AB}=4\mathrm{cm}$, $\mathrm{BC}=5\mathrm{cm},\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}$.
2. So sánh các cạnh của tam giác $\mathrm{ABC}$ biết rằng $\hat{\mathrm{A}}={92}^{\circ }$, $\hat{\mathrm{B}}={48}^{\circ }$.
3. Chứng minh rằng trong tam giác vuông cạnh huyển bao giờ cũng lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
4. Chứng minh rằng trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.
5. Góc ở đáy của tam giác cân nhỏ hơn ${60}^{\circ }$, cạnh nào của tam giác cân là lớn nhất ?
6. Chứng minh rằng : Nếu một tam giác có hai đường cao bằng nhau thì nó là tam giác cân.