Bài 1. (2 điểm)
a) Cho các số $a$, $b$, $c$ thỏa $2a+3b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm.
b) Giải hệ phương trình: $\left{ $$\begin{array}{l}\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=4xy\sqrt[3]{x–1}–\sqrt{y–1}=1–x^3\end{array}$$ \right.$
Bài 2. (2 điểm) Cho các số $a$, $b$, $c$ thỏa $a^3+b^3+c^3–3abc=1$.
a) Chứng minh rằng trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất một số dương.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2$.
Bài 3. (1,5 điểm) Cho $n$ là số nguyên dương và $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ là các ước nguyên dương nhỏ nhất của $n$ thỏa: $n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$
a) Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $4$
b) Tìm $n$.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $A,B$ cố định, $C$ thay đổi trên cung lớn $AB$. Gọi $K$ là trung điểm $AB$; $D$ và $E$ là hình chiếu của $K$ trên $CA,CB$.
a) Tìm vị trí của $C$ để $DE$ lớn nhất.
b) $DE$ cắt $AB$ và $CO$ tại $N,M$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$ đi qua một điểm cố định.
c) $(CDE)$ và $(O)$ cắt nhau tại $F$ khác $A$. $NF$ cắt $(CDE)$ tại $G$. Chứng minh $G$ thuộc một đường thẳng cố định.
Kí hiệu $(CDE)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$.

Bài 5. (1,5 điểm) Cho hình thang cân, người ta tô màu 4 cạnh và 2 đường chéo của hình bằng hai màu đỏ và xanh, trong đó mỗi màu tô 3 đoạn. Chứng minh có 3 đoạn thẳng được tô cùng màu có thể lập được một tam giác.

Đáp án chi dành cho các bạn đã đăng kí website tiết tại Đây