Ví dụ 1: Giá của một chiếc máy tính bảng sau khi sử dụng $t$ năm được cho bởi công thức:

$T\left( t\right) =10000000-1250000t$ (đồng)

a) Hãy tính $T\left( 2\right) $ và cho biết $T\left( t\right) $ có nghĩa là gì?

b) Sau bao nhiêu năm thì giá trị của chiếc máy tính bảng là $5000000$ đồng.

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có hai kích thước là $20$ cm và $30$ cm. Gọi $y$ (cm) là chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $x$ (cm).

a) Lập hàm số của $y$ theo $x$.

b) Hãy cho biết hàm số thiết lập ở câu a) là hàm số đồng biến hay nghịch biến.

c) Tính chu vi hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước $3$ cm.

Bài tập:

Bài 1: Diện tích rừng nhiệt đới trên Trái Đất được cho bởi hàm số $A=718,3-4,6t$ trong đó $A$ tính bằng triệu héc-ta, $t$ tính bằng số năm kể từ năm $1990$. Hãy tính diện tích rằng nhiệt đới vào các năm $1990$ và $2000$.

Bài 2: Bạn An hiện có số tiền là $32000$ đồng, bạn định sử dụng số tiền này để chơi game, mối giờ bạn chơi tốn $5000$ đồng. Gọi $t$ là số giờ chơi game của bạn An và $T$ là số tiền còn lại.

a) Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Sau khi chơi $3$ giờ thì số tiền An còn lại là bao nhiêu?

c) Với số tiền ban đầu thì An chơi tối đa được bao nhiêu giờ (chỉ tính tiền theo giờ không được đóng lẻ theo phút).

Bài 3: Bảng giá cước gọi quốc tế của công ty viễn thông A được cho bởi bảng sau:

Thời gian gọi (phút)	Giá cước điện thoại (đồng/phút)
Không quá $8$ phút	$6500$
Từ phút thứ $9$ đến phút thứ $15$	$6000$
Từ phút thứ $16$ đến phút thứ $25$	$5500$
Từ phút thứ $26$ trở đi	$5000$

a) Gọi $T$ (đồng) là số tiền khách hàng phải trả khi gọi quốc tế trong $t$ (phút). Lập hàm số của $T$ theo $t$.

b) Bà Lan gọi cho người thân ở nước ngoài tốn tổng cộng $174000$ đồng. Hãy tính số phút bà Lan gọi điện cho người thân bên nước ngoài?

Bài 4: Trong một xưởng sản xuất đồ gia dụng có tổng cộng $900$ thùng hàng và mỗi ngày nhân viên sẽ lấy $30$ thùng hàng để đi phân phối cho các đại lí.

a) Gọi $y$ là số thùng hàng còn lại trong kho sau $x$ ngày. Hãy lập hàm số $y$ theo $x$.

b) Sau bao nhiêu ngày thì xưởng sẽ vận chuyển hết được $900$ thùng hàng?

c) Biết rằng một thùng hàng có giá trị là $2000000$ đồng và mỗi chuyến xe vận chuyển $30$ thùng hàng trong mỗi ngày sẽ tốn $2500000$ đồng. Hỏi sau khi bán hết tất cả thùng hàng thì xưởng sẽ lời bao nhiêu tiền?

Bài 5: Một xí nghiệp may cứ mỗi tháng thì phải trả tiền lương cho công nhân viên, tiền vật liệu, tiền điện, tiền thuế,… tổng cộng là $410000000$ (đồng). Mỗi chiếc áo được bán với giá là $350000$ (đồng). Gọi số tiền lời (hoặc lỗ) mà xí nghiệp thu được mỗi tháng là $L$ (đồng) và mỗi tháng xí nghiệp sản xuất được $A$ chiếc áo.

a) Lập hàm số của $L$ theo $A$.

b) Nếu trong một tháng công ty bán được $1000$ chiếc áo thì công ty lời hay lỗ bao nhiêu?

c) Mỗi tháng phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc áo để xí nghiệp không bị lỗ?

d) Hỏi cần phải sản xuất trung bình bao nhiêu chiếc áo mỗi tháng để sau một năm xí nghiệp thu được tiền lời là $1380000000$ (đồng).

Bài 6:  Một cửa hàng sách cũ có chính sách như sau: nếu khách hàng đăng kí làm hội viên của cửa hàng sách thì mỗi năm phải đóng $50000$ (đồng) chi phí và chỉ phải mướn sách với giá $5000$ (đồng/cuốn sách), còn nếu khách hàng không phải hội viên thì sẽ mướn sách với giá $10000$ (đồng/cuốn sách). Gọi $T$ (đồng) là tổng số tiền mỗi khách hàng phải trả trong mỗi năm và $n$ là số cuốn sách mà khách hàng mướn.

a) Lập hàm số của $T$ theo $n$ đối với khách hàng là hội viên và khách hàng không là hội viên.

b) Phát là một hội viên của cửa hàng sách, năm ngoái Phát đã trả cho cửa hàng tổng cộng $90000$ đồng. Hỏi nếu Phát không phải là hội viên  của cửa hàng thì số tiền Phát phải trả là bao nhiêu?

c) Mỗi hội viên cần thuê tối thiểu bao nhiêu cuốn sách để có thể bù được phí hội viên?

Tính chất: Cho hai đường thẳng $\left( d_1\right) : y=a_1x+b_1$, $\left( d_2\right) : y=a_2x+b_2$.

Khi đó: $d_1$ cắt $d_2$ khi và chỉ khi $a_1\ne a_2$

và phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là:

$a_1x+b_1=a_2x+b_2$.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=2x+1$ và $y=3x+2$ có đồ thị là $d_1$ và $d_2$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ với trục hoành, trục tung, $d_2$.

Ví dụ 2: Cho $d_1: y=\left( 2m-1\right) x+1$ và $d_2: y=4x-1$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng tung độ.

Bài tập:

Bài 1: Cho $d_1: y=-x$ và $d_2: y=2x+3$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm giao điểm $A$ của $d_1$ và $d_2$. Tìm giao điểm $B$ của $d_2$ với trục tung.

c) Tính diện tích tam giác $OAB$.

Bài 2: Cho đường thẳng $\left( d_1\right) : y=x$, $\left( d_2\right) : y=2x+1$, $\left( d_3\right) : y=3x+2$.

a) Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d_1\right) $ và $\left( d_2\right) $.

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Bài 3: Cho đường thẳng $d_1: y=2x-1$ và $d_2: y=\left( m-1\right) x+3$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để $d_1$ cắt $d_2$.

b) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì $d_2$ luôn đi qua điểm $A\left( 0;3\right) $.

c) Tìm $m$ để $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.

Bài 4: Tìm phương trình đường thẳng $\left( d\right): y=ax+b$ biết rằng:

a) $\left( d\right) $ đi qua hai điểm $A\left( 1;-2\right) $ và $B\left( 3;2\right) $.

b) $\left( d\right) $ song song với $\left( d_1\right): y=3-x $ và đi qua điểm $C\left( 1; -\dfrac{1}{2}\right) $.

c) $\left( d\right) $ đi qua điểm $D\left( -1;4\right) $ và cắt đường thẳng $\left( d_2\right): y=2x-1 $ tại điểm có hoành độ $x=2$.

Bài 5: Cho hai đường thẳng $d_1: y=-\dfrac{1}{2}x$ và $d_2: y=\dfrac{1}{2}x+3$.

a) Vẽ $d_1$ và $d_2$ trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$.

c) Cho đường thẳng $d_3: y=2x+b$, tìm $b$ biết $d_3$ cắt $d_2$ tại điểm $M$ có hoành độ và tung độ đối nhau.

Bài 6: Hai bạn Chánh và Hiệp cùng đi xe máy từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu. Chánh xuất phát từ $7$ giờ và đi với vận tốc $30$ km/h. Hiệp xuất phát lúc $7$ giờ $40$ phút và đi với vận tốc $40$ km/h.

a) Gọi $s$ (km) là quãng đường đã đi được, $t$ (giờ) là thời gian đã đi tính từ lúc Hiệp xuất phát. Viết biểu thức liên hệ giữa $s$ và $t$ đối với mỗi bạn. Hai bạn gặp nhau lúc mấy giờ.

b) Biết quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu dài $90$ km. Hỏi ai đến Vũng Tàu trước và khi đó là mấy giờ?

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

$y=ax+b$

trong đó $a$, $b$ là các số cho trước và $a\ne 0$.

Ví dụ 1: Để ủng hộ cho các người dân trong đợt lũ lụt, lớp 9A quyết định trích tiền quỹ của lớp ra $500000$ và mỗi bạn trong lớp có thể đóng góp số tiền như nhau là $20000$. Gọi $x$ là số học sinh đóng góp và $y$ là số tiền đóng góp được. Khi đó số tiền lớp 9A đóng góp là:

$y=20000x+500000$

$y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=20000$, $b=500000$.

Ví dụ 2: Bạn Uyên có số tiền là $500000$, bạn định sử dụng số tiền này để mua truyên tranh, mỗi quyển truyện tranh có giá $15000$. Gọi $h$ là số quyển truyện tranh Uyên mua được và $t$ là số tiền còn lại của Uyên. Khi đó ta có:

$t=500000-15000h=-15000h+500000$

$t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất với $a=-15000$, $b=500000$.

Tính chất 1: Hàm số bậc nhất $y=f(x)=ax+b$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:

• Nếu $a>0$ thì $f$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Nếu $a<0$ thì $f$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3:

a) Hàm số $y=20000x+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=20000>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $t=-15000h+500000$ là hàm số bậc nhất có $a=-15000<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập:

Bài 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định các hệ số $a$, $b$ của các hàm số bậc nhất vừa tìm được.

a) $y=4x-2$

b) $y=-3-x$

c) $y=\dfrac{1}{x}+7$

d)$y=\dfrac{2x}{3}$

e) $y=5\left(2-x\right) +3$

 Bài 2:  Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=2x-7$

b) $y=3-5x$

c) $y=\left( \sqrt2-\sqrt3\right)x+1$

d) $y=\left( 2+m^2\right)x-4$

Bài 3: Cho hàm số $y=\left( 2m-1\right)x+3$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 4: Cho hàm số $y=\left( 2m+5\right)x+m-2$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 5: Cho hàm số $y=\left( m+1\right)x+3m+1$. Tìm $m$ để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

Bài 6: Để đổi từ nhiệt độ $F$ sang độ $C$, ta dùng công thức sau:

$C=\dfrac{5}{9}\left( F-32\right) $

a) $C$ có phải là hàm số bậc nhất theo biến số $F$ không?

b) Hãy tính $C$ khi $F=30$, $F=70$.

Bài 7: Cây cà chua lúc đầu cao $20$ cm, mỗi ngày cao thêm $10$ cm, cây đu đủ lúc đầu cao $50$ cm và mỗi ngày cao thêm $\dfrac{20}{3}$ cm. Gọi $x$ là số ngày, $y$ là chiều cao của mỗi cây, hãy lập hàm số của $y$ theo $x$ đối với mỗi cây.

Bài 8: Hai bạn $A$, $B$ đi cùng hướng trên một con đường, lúc đầu $A$, $B$ cách bến xe buýt lần lượt là $200$ m và $500$ m cùng đi ngược hướng với trạm xe buýt. Mỗi giờ $A$ đi được $3$ km và $B$ đi được $1$ km. Gọi $d_1$ và $d_2$ là khoảng cách của $A$, $B$ đối với trạm xe buýt sau khi đi được $t$ giờ. Hãy tính $d_1$ và $d_2$ theo $t$.