Tag Archives: M

Ba điểm thẳng hàng.

1 Reply

Bài toán. (PoP 1.4)  Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, một đường thẳng qua $(O)$ song song với $BC$, cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $F, E$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $(BFO)$ và $(CEO)$ cắt nhau tại điểm thứ 2 là $D$ và cắt $BC$ tại $L, K$. Gọi $M$ là giao của $BE$ và $CF$. Gọi $N$ là giao của $FL$ và $EK$. Chứng minh rằng $D, M, N$ thẳng hàng.

Gợi ý

  • Gọi $D’$ là giao điểm của đường cao hạ từ $A$ với $(O)$. Chứng minh được $D’BFO, D’CEO$ nội tiếp nên $D’ \equiv D$.
  • Chứng minh tứ giác $EFLK$ nội tiếp. Trục đẳng phương của $(OFBD), (OECD), (EFLK)$ cắt nhau tại $N$ nên $D, O, N$ thẳng hàng.
  • Gọi $P$ là trung điểm $BC$ ta có $A, M, P$ thẳng hàng.
  • Áp dụng Menelaus cho tam giác $ABP$ với đường thẳng $FC$ ta có $\dfrac{PM}{AM} = \dfrac{BF}{2AF} = \dfrac{OP}{AD}$. Suy ra $O, M, D$ thẳng hàng.
  • Vậy $D, M, N$ thẳng hàng.

Tam giác cân

Leave a reply

Bài toán. (PoP 1.3)  Cho tam giác $ABC$ nhọn, $\angle B > \angle C$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BC$ và $E, F$ lần lượt là chân đường cao từ $B$ và $C$. Gọi $K, L$ lần lượt là trung điểm của $ME$, $MF$. Gọi $T$ là giao điểm của $KL$ sao cho $TA||BC$. Chứng minh $TA = TM$.

Gợi ý

Xét đường tròn đường kính $AH$.

  •  $ME, MF$ là tiếp tuyến của $(AH)$.
  • $KL$ là trục đẳng phương của $(AH)$ và đường tròn điểm $M$.
  • Mà $TA$ là tiếp tuyến của $(AH)$ nên $TA^2 = TM^2$.

3 điểm thẳng hàng

1 Reply

Bài toán. (PoP 1.2) Cho tam giác $ABC$ nhọn, kẻ đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Cho $K$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$ và khác $B,C$ kẻ đường kính $KM$ củaCho tam giác $ABC$ nhọn, kẻ đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Cho $K$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$ và khác $B,C$ kẻ đường kính $KM$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFK$ và đường kính $KN$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEK$. Chứng minh rằng ba điểm $M, H, N$ thẳng hàng.

Gợi ý

Gọi $P$ là giao điểm của $(KBF)$ và $KCE)$.

  • Ta có $AF.AB = AE.AC = AH.AD$ nên $A$ thuộc trục đẳng phương của $(KBF)$ và $(KCE)$. Suy ra $A, P, K$ thẳng hàng.
  • Do đó $AP. AK = AH.AD$, suy ra $\angle HPK = \angle ADK = 90^\circ$.
  • Mặt khác $KM, KN$ là đường kính của $(KBF), (KCE)$ nên $\angle KPM = \angle KPN = 90^\circ$. Vậy $H,M, P, N$ thẳng hàng.

Điểm Migel của tam giác vuông

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$.Vẽ đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ tại $D$ và $E$ và cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A$. $AP$ cắt $BC$ tại điểm $K$.

a. Chứng minh các tứ giác $KPEC, KPDB$ nội tiếp.

b. Chứng minh $K, D, E$ thẳng hàng.

Gợi ý

a. Tứ giác $AHDP$ nội tiếp nên $\angle KPD = \angle AHD$.

Tứ giác $AHDP$ nội tiếp nên $\angle KPD = \angle AHD$.

Mà $\angle ABH = \angle AHD$, suy ra $\angle KPD = \angle ABH$, do đó tứ giác $KPDB$ nội tiếp.

Ta có $\angle APE = \angle AHE$ (APHE nội tiếp) và $\angle AHE = \angle ACB$ nên $\angle APE = \angle ACB$, do đó tứ giác $KPEC$ nội tiếp.

b. Ta có $\angle ADE = \angle AHE = \angle AHC$.(1)

Tứ giác $KPDB$ nội tiếp, suy ra $\angle KDB = \angle KPB$, mà $\angle KPB = \angle ACB$ (APBC nội tiếp) nên $\angle KDB = \angle ACB$.(2)

Từ (1) và (2), suy ra $\angle KDB = \angle ADE$. Khi đó $\angle KDB + \angle BDE = \angle ADE + \angle BDE = 180^\circ$. Vậy $K, D, E$ thẳng hàng.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Hai đường đẳng giác và tứ giác nội tiếp.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho $\angle BAD = \angle CAE$. Gọi $M, N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD, AE$; $P, Q$ là hình chiếu vuông góc của C trên $AD, AE$. Chứng minh 4 điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $BC$.

Gợi ý

Ta có tứ giác $ABMN$ nội tiếp, suy ra $\angle AMN = \angle ABN = 90^\circ – \angle BAE$.(1)

Tứ giác $ACPQ$ nội tiếp, suy ra $\angle APQ = \angle ACP = 90^\circ – \angle CAD$.(2)

Ta lại có $\angle DAB = \angle CAE $ nên $\angle BAE = \angle CAD$.(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle AMN = \angle APQ$, suy ra tứ giác $MNPQ$ nội tiếp.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, ta có $BM||CP$ nên đường thẳng $d$ qua $I$ song song với $BM$ đi qua trung điểm của $MP$ mà $BM \bot MP$ nên đường thẳng $d$ là trung trực của $MP$. Vậy $IM = IP$.

Tương tự ta cũng có $IN  = IQ$.

Hơn nữa tứ giác $MNPQ$ là tứ giác nội tiếp khác hình thang nên $I$ chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Trung trực BC giao phân giác góc A thuộc đường tròn ngoại tiếp.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ với $AB < AC$. Phân giác trong góc $A$ và trung trực đoạn $BC$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $ABDC$ là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Ta có $D$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$.

Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB, AC$.

$\Delta ADE = \Delta AED$ nên ta có $AE = AF, DE = DF$.

Suy ra $\Delta DBF = \Delta DCF \Rightarrow BE = CF$.

Nếu $E, F$ cùng nằm trong hoặc cùng nằm ngoài đoạn $AB, AC$ thì $AB = AC$ (vô lý), do đó $E$ nằm ngoài đoạn $AB$ và $F$ nằm trong đoạn $AC$ (do $AB < AC$).

Khi đó $\angle ACD = \angle EBD$, suy ra tứ giác $ABDC$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong.)

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp cùng thuộc đường tròn.

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\angle A = 60^\circ$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh 5 điểm $B, C, H, I, O$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Ta có $\angle BHC = 180^\circ – \angle BAC = 120^\circ$.(1)

Và $\angle BOC = 2 \angle BAC = 120^\circ$.(2)

$\angle BIC = 180^\circ – \angle IBC – \angle ICB = 180^\circ – \dfrac{180^\circ – \angle BAC}{2} = 120^\circ$. (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có $\angle BHC = \angle BOC = \angle BIC = 120^\circ$ nên 5 điểm B, C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp – Hình chữ nhật

Leave a reply

Đề bài. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CD. AM cắt BN tại E, BN cắt DM tại F và DM cắt AN tại G. Chứng minh rằng tứ giác AEPF nội tiếp.

Gợi ý

Gọi $K$ là giao điểm của AN và đường thẳng BC.

Gọi $K$ là giao điểm của AN và đường thẳng BC.

Ta có $\Delta NBC = \Delta NAD$, suy ra $\angle NBC = \angle NAD$, mà $\angle NAD = \angle NKC$ nên $\angle NBC = \angle NKC$.

Ta có $\Delta AMB = \Delta DMC$, suy ra $\angle AMB = \angle DMC$.

Tam giác $MBE$ và $MGC$ có $\angle AMB = \angle DMK, \angle NBC = \angle NKC$ nên $\angle MEB = \angle MGK$, suy ra tứ giác $AEFG$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Một bài tứ giác nội tiếp – Biến đổi góc

Leave a reply

Đề bài. Hình bình hành $ABCD$ có góc tù $B$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng $DE$ vuông góc $AC, DF$ vuông góc $AB, DG$ vuông góc $BC$. Chứng minh 4 điểm $O, E, G, F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý
  1. Ta có tứ giác $DEGC$ nội tiếp, suy ra $\angle CEG = \angle CDG$. (1)
  2. Tứ giác $DFBG$ nội tiếp, suy ra $\angle BFG = \angle BDG$. (2)
  3. Tam giác $FBD$ vuông tại F có $FO$ là trung tuyến nên $FO = OD$, suy ra $\angle OFD = \angle ODF$. (3)
  4. Từ (2) và (3), suy ra $\angle OFG = 90^\circ – \angle BFG – \angle OFD = 90^\circ – \angle BDG – \angle ODF = \angle CDG$ (4)
  5. Từ (1) và (4) ta có $\angle OFG = \angle CEG$, suy ra tứ $OEGC$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp

Một bổ đề về tứ giác nội tiếp

Leave a reply

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. $M$ là một điểm thuộc cung BC không chứa $A$. $AM$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh rằng các tứ giác $BEKM, CDKM$ là các tứ giác nội tiếp.

Gợi ý

Ta có $\Delta ADB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Ta có $\Delta ADB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$.

Từ đó ta có $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$, suy ra $\angle ADE = \angle ABC$.(1)

Mà $\angle AMC = \angle ABC$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\angle ADE = \angle AMC$, do đó tứ giác $CDKM$ nội tiếp.

Chứng minh tương tự ta cũng có $BEKM$ nội tiếp.

Bài giảng Tứ giác nội tiếp