ĐỀ BÀI

BÀI 1. Cho phương trình $x^2-4mx+m^2-2m+1=0$ (1) với m là tham số .

a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai
nghiệm không thể trái dấu.
b)  Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $|x_1 -x_2| =1$.

BÀI 2.  Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 2y + 1 = 2z\left( {x + 2} \right)\\
3{y^2} + 2z + 1 = 2x\left( {y + 2} \right)\\
3{z^2} + 2x + 1 = 2y\left( {z + 2} \right)
\end{array} \right.$

BÀI 3. Cho $x, y$ là hai số không âm thỏa $x^3+y^3 < x- y$.

a) Chứng minh rằng $y \leq x \leq 1$.
b) Chứng minh rằng $x^3+y^3 \leq x^2 + y^2 \leq 1$.

BÀI 4.  Cho $M = a^2 + 3a + 1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5?

BÀI 5.  Cho tam giác $ABC$ có góc $\angle A = 60^o$ , đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ và song song với $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $M,N$.

a) Chứng minh rằng các tứ giác $IFMK$ và $IMAN$ nội tiếp .
b) Gọi $J$ là trung điểm cạnh $BC$.Chứng minh rằng ba điểm $A,K,J$ thẳng hàng.
c) Gọi $r$ là bán kính của dường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$.Tính $S$ theo $r$ và
chứng minh $S_{IMN} \geq \dfrac{S}{4}$ ($S_{IMN}$ là diện tích tam giác $IMN$).

BÀI 6.  Trong một kỳ thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kỳ thi , người ta nhận
thấy rằng: Với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải
được. Chứng minh rằng :

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà
mọi thí sinh đều giải được .
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.

LỜI GIẢI

Nhìn vào đề này thấy độ phức tạp nhẹ nhàng, các câu dễ có thể một phát ăn ngay là bài 1, 3a, 4a, 4b ý đầu, 5a.

Tiếp theo là các câu khó hơn như 2,3b ý sau, 5b, 5c và khó nhằn nhất có lẽ là bài tổ hợp.

Bài hình trong đề này là một bài rất quen thuộc, do đó việc giải lại các bài toán đã học là một việc quan trọng. Chú ý những lỗi suy luận trong làm bài, các em tự làm và tự đánh giá điểm để xem được nhiêu điểm nhé, đáp án sẽ có sau vài ngày nữa.

Bài 1. (1,5 điểm) 

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta ‘ = 3m^2+2m-1> 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}$ hoặc $m < – 1$. Khi đó tích hai nghiệm của phương trình $x_1x_2 = (m-1)^2 \geq 0$ nên phương trình không thể có hai nghiệm trái dấu.

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ không âm:

$\Delta’ = 3m^2+2m-1\geq 0; S = x_1+x_2 \geq 0; P=x_1x_2 = m^2-2m+1 \geq 0$

$\Leftrightarrow m \geq \dfrac{1}{3} $
Ta có $|\sqrt{x_1}-\sqrt{2}| = 1 $
$\Leftrightarrow x_1 + x_2 – \sqrt{x_1x_2} = 1 $
$\Leftrightarrow 4m – 2\sqrt{m^2-2m+1} = 1 $
$\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2} (n), m = \dfrac{-1}{2} (l)$.

Bình luận Nhiều bạn xét $P \geq 0$ suy ra phương trình có hai nghiệm cùng dấu, cái này là suy luận sai, vì còn trường hợp bằng 0, tốt nhất là dùng phản chứng.

Bài 2. (1 điểm) Cộng ba phương trình lại ta có:
$3(x^2+y^2+z^2) + 2(x+y+z)+3 = 2(xy+yz+zx) + 4(x+y+z)$

$\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz) – 2(x+y+z)+3 = 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 + (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 = 0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=1\\z=1
\end{array} \right.$
Thử lại thấy $(1, 1,1)$ là nghiệm của hệ.

Bình luận: Bài này hệ hoái vị vòng quanh, bất đẳng thức là một trong những cách hay dùng.

Bài 3. (1,5 điểm) 

a) Ta có $x – y \geq x^3 + y^3 \geq 0$, suy ra $x \geq y$.
Ta có $x \geq y + y^3 + x^3 \geq x^3$, suy ra $x(1-x)(1+x) \geq 0$. \Suy ra $0\leq x \leq 1$.
Do đó $0 \leq y \leq x \leq 1$.
b) Từ câu a ta có $0 \leq y \leq x \leq 1$, suy ra $x^3 \leq x^2, y^3 \leq y^2$. Suy ra $x^3+y^3 \leq x^2+y^2$.
Ta có $x – y \geq x^3+y^3 \geq x^3-y^3 \geq 0$.
Suy ra $x^2+y^2+xy \leq 1$, suy ra $x^2+y^2 \leq 1$.
Vậy $x^3+y^3\leq x^2+y^2 \leq 1$.

Bình luận: Đây là bất đẳng thức tương đối dễ, chỉ dùng các biến đổi đơn giản, tuy vậy để làm được ý cuối trong điều kiện phòng thi thì không đơn giản.

Bài 4. (1,5 điểm) 

a)Ta có $M = a^2 + 3a + 1 = a(a+1) + 2a + 1$. Mà $a(a+1)$ là tích hai số tự nhiên liến tiếp nên chia hết cho 2, suy ra $M = a(a+1) + 2a +1$ là số lẻ, do đó mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Giả sử $M = a^2 + 3a + 1$ chia hết cho 5. Mà $M = (a-1)^2 + 5a$ nên $(a-1)^2$ chia hết cho 5. Suy ra $a = 5k + 1$ ($k$ là số tự nhiên).
Thử lại thấy với $a = 5k + 1$ thì M chia hết cho 5.
Giả sử $M = (a-1)^2+ 5a = 5^n$.
Nếu $n \geq $ ta có $M$ chia hết cho 25.
Từ M chia hết cho 5, tương tự trên ta có $a = 5k + 1$.
Khi đó $M = 25k^2 + 25k + 5 = 5(5k^2+5k+1)$. Ta có $5k^2 + 5k + 1$ không chia hết cho 5 nên M không chia hết cho 25. (mâu thuẫn).
Nếu $n = 1$. Khi đó $k = 0, a= 1$ và $A=5$ thỏa đề bài.
Đáp số $a = 1$.

Bình luận: Bài này thực chất là bài phương trình nghiệm nguyên, cách hay sử dụng là đồng dư, và đưa ra điều kiện của $a$, ta cũng có thể thử vài giá trị để đoán được nghiệm, từ đó cho ra cách giải.

Bên cạnh đó, nắm chắc một chút các phương pháp chia hết như biến đổi thành tổng.

Bài 5.  (3 điểm) 

a) Do $MN|| BC$ nên $IK \bot MN$. Do $\angle IKN = \angle IFM = 90^\circ$ nên tứ giác $IFMK$ nội tiếp. Tam giác $AEF$ đều nên $\angle KFI = 30^\circ$. Từ đó $\angle IMN = \angle KFI = \angle IAN = 30^\circ$ nên tứ giác $IMAN$ nội tiếp.
b) Ta có $\angle IMN = \angle INM = 30^\circ$ nên tam giác $IMN$ cân tại $I$.
Lại có $IK \bot MN$ nên $K$ là trung điểm của $MN$.
Gọi $J’$ là giao điểm của $AK$ và $BC$, ta có $\dfrac{MK}{BJ’} = \dfrac{AK}{AJ’} = \dfrac{NK}{CJ’}$ mà $MK = NK$ nên $BJ’ = CJ’$. Suy ra $J’$ là trung điểm của $BC$. Suy ra $J \equiv J’$, do đó $A, K, J$ thẳng hàng.
b) Ta có $AE = AF = r\sqrt{3}$, suy ra $S = 2S_{IAF} = 2.\dfrac{1}{2}IF\cdot AF = r^2 \sqrt{3}$.

Ta chứng minh được $S_{IEF} = \dfrac{1}{4}S$.
Các tam giác $IMN$ và $IEF$ cân tại $I$ có $\angle IMN = \angle IEF$ nên đồng dạng. Do đó $\dfrac{S_{IMN}}{S_{IEF}} = \dfrac{IM^2}{IF^2} \geq 1$ (do $IM \geq IF$). Suy ra $S_{IMN} \geq S_{IEF} = \dfrac{S}{4}$.
Dấu bằng xảy ra khi $M \equiv F$ hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Bình luận. Đây là một mô hình quen thuộc của đường tròn nội tiếp, hầu hết các bạn đã gặp bài toán này, do đó nắm chắc các bài toán là một lợi thế.

Bài 6. (1,5 điểm) 

a) Kí hiệu các bài toán là BT1, BT2, BT3.
Từ giả thiết suy ra rằng mọi thí sinh đều giải được ít nhất một bài toán.
Ta giả sử, mọi thí sinh đều không giải được BT1. Khi đó mọi thí sinh đều giải được BT2 hoặc BT3. Nếu có một thí sinh chỉ giải được 1 bài toán, giả sử đó là bài toán 2. Khi đó theo đề bài thì mọi thí sinh khác đều giải được bài toán 2. Vậy mọi thí sinh đều giải được bài toán 2. Còn nếu tất cả các thí sinh đều giải được 2 bài toán thì cũng thỏa.

b) Ta xét hai trường hợp:
TH1: Có một thí sinh nào đó giải đúng một bài toán, theo câu a thì mọi thí sinh đều giải được bài toán đó, ta có điều cần chứng minh.
TH2: Mọi thí sinh đều giải được ít nhất 2 bài toán. Gọi $a$ là số thi sinh giải được cả 3 bài toán, $b$ là số thí sinh giải được BT1 và BT2, $c$ là số thí sinh giải được BT2 và BT3, $d$ là số thí sinh giải được BT1 và BT3.
Ta có $a + b+ c+ d = 60$.
Nếu $b, c, d > 20$, suy ra $b+c+d > 60$ vô lý. Do đó có một trong ba số $b, c, d$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 20. Giả sử là $b \leq 20$. Suy ra $a+c+d \geq 40$.

Hay số thí sinh giải được bài BT3 không ít hơn 40. Điều cần chứng minh.

Bình luận: Đây là bài tổ hợp vừa phải, câu a, chỉ cần đọc kĩ giả thiết là làm được.

Câu b, là biểu đồ venn có thể suy nghĩ đến khi cần phân ra các tập rời nhau.

Bên cạnh đó phản chứng là phương pháp được sử dụng.

Nhìn chung đề này có nhiều câu dễ và quen thuộc, với những câu đó phải làm trước và làm thật chắc, khi đó mới có nhiều thời gian làm các câu khó.